第03讲 空间向量的数量积运算（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第03讲 空间向量的数量积运算 【人教A版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 空间向量的夹角 3 题型02 空间向量的数量积运算 5 题型03 空间向量数量积的应用 8 易错归纳 12 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 18 创新拓展 28 一、空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 向量垂直 如果〈a，b〉＝________，那么向量a，b互相垂直，记作________ 二、空间向量的数量积运算 1．(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝________________________.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝________. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝________，λ∈R 交换律 a·b＝________ 分配律 (a＋b)·c＝__________ 2.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 注意点： (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 题型01空间向量的夹角 【解题策略】 (1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π. (2)对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 【典例分析】 【例1】如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 【变式演练】 【变式1】在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 【变式2】（2023高二·全国·专题练习）两个向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，作，则叫做与的夹角； （2）范围：夹角的取值范围是 . ①当与同向时， ；②反向时， ；③当与垂直时， ，并记作. 【变式3】（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 题型02 空间向量的数量积运算 【解题策略】 　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确． 【典例分析】 【例2】（23-24高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量，若，则的值为 ． 【变式2】（23-24高二下·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 【变式3】如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： 题型03 空间向量数量积的应用 【解题策略】 用数量积求两点间距离的步骤 (1)将两点确定的线段用向量表示； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式a·a＝|a|2，求|a|. 【典例分析】 【例3】课本例2　如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°.求： (1)·； (2)AC′的长(精确到0.1)． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正方体的棱长为1，设，，，则（    ）    A．1 B． C．0 D．2 【变式2】（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知空间向量两两夹角为，且，则 ． 【变式3】（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 易错辨析　混淆向量的夹角与空间角 如图所示，在平面角为120° 的二面角α－AB－β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知向量，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 4．（23-24高二上·福建福州·期末）如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2023·福建厦门·一模）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的为（    ） A．设，是两个空间向量，则 B．若空间向量，满足，则 C．若空间向量，，满足，，则 D．在正方体中，必有 三、填空题 7．（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知空间中四点A，B，E，C，若，则 .（填“”“ //”或“”） 8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知，则在上的投影向量的坐标为 . 9．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 . 四、解答题 10．（20-21高二·江苏·课后作业）证明空间向量数量积的运算律(2)：(交换律)． 11．（21-22高二·全国·课后作业）已知是空间向量，根据下列各条件分别求： (1)； (2)； (3)； (4). 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·江西吉安·期末）在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 3．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则与一定共线 C．若，则AB与CD为同一线段 D．非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面 4．（23-24高二上·河北保定·开学考试）如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）.    A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·浙江·期末）下列四个结论正确的是（    ） A．若空间中的，，，满足，则，，三点共线 B．空间中三个向量，，，若，则，，共面 C．空间中任意向量，，，都满足 D．若，则为钝角 三、填空题 7．（2024高二·全国·专题练习）已知向量两两夹角为，且，则 ． 8．（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    9．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 四、解答题 10．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 11．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高二上·湖南怀化·期末）如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 三、解答题 3．（20-21高二·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，E为棱上的动点.求向量在向量方向上投影的数量的取值范围. 【下节预览】 一、解答题 1（23-24高二上·安徽·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点． (1)若，求的值； (2)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 空间向量的数量积运算 【人教A版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 空间向量的夹角 3 题型02 空间向量的数量积运算 5 题型03 空间向量数量积的应用 8 易错归纳 12 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 18 创新拓展 28 一、空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 二、空间向量的数量积运算 1．(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 2.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 注意点： (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 题型01空间向量的夹角 【解题策略】 (1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π. (2)对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 【典例分析】 【例1】如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 【详解】连接BD(图略)， 则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，∠D′AC＝60°， 所以〈，〉＝〈，〉＝45°，〈，〉＝180°－〈，〉＝135°，〈，〉＝∠D′AC＝60°，〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°，〈，〉＝〈，〉＝90°. 【变式演练】 【变式1】在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】　D 【解析】〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. 【变式2】（2023高二·全国·专题练习）两个向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，作，则叫做与的夹角； （2）范围：夹角的取值范围是 . ①当与同向时， ；②反向时， ；③当与垂直时， ，并记作. 【答案】 0 【分析】根据向量夹角的概念求解. 【详解】作，则叫做与的夹角，则， 当与同向时，，当与反向时，，当与垂直时，. 故答案为：；0；； 【变式3】（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 【答案】45°；135°；60°；120°；90° 【分析】由图形特征求向量夹角. 【详解】连接BD，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′， 所以， ， ， ， . 题型02 空间向量的数量积运算 【解题策略】 　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确． 【典例分析】 【例2】（23-24高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积公式计算出答案. 【详解】是相互垂直的单位向量，故， 故. 故选：A 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据向量间的垂直关系和向量的数量积即可求解. 【详解】由题知，因为，所以， 即 ， 所以. 故答案为： 【变式2】（23-24高二下·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 【答案】(1)投影向量见解析， (2)投影向量见解析， 【分析】（1）（2）利用投影向量的定义及空间垂直关系确定投影向量，再求数量积. 【详解】（1）在正四面体OABC中，取OB的中点P，连接，则有， 因此即为在直线上的投影向量. 所以· （2）在正四面体中，设O在底面内的投影为Q，易知Q为底面中心，则平面, 连接并延长交于M，则M为中点，， 且即为平面内的投影向量. ∴ 【变式3】如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)·；(2)·；(3)·；(4)·. 【详解】　(1)·＝· ＝||·||·cos〈，〉 ＝×1×1·cos 60°＝， 所以·＝. (2)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1·cos 0°＝， 所以·＝. (3)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1·cos 120°＝－， 所以·＝－. (4)·＝(＋)·(＋) ＝[·(－)＋·(－)＋·＋·] ＝[－·－·＋(－)·＋·] ＝×＝－. 题型03 空间向量数量积的应用 【解题策略】 用数量积求两点间距离的步骤 (1)将两点确定的线段用向量表示； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式a·a＝|a|2，求|a|. 【典例分析】 【例3】课本例2　如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°.求： (1)·； (2)AC′的长(精确到0.1)． 【详解】(1)·＝||||cos〈，〉＝5×3×cos 60°＝7.5. (2)||2＝(＋＋)2 ＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·) ＝52＋32＋72＋2(5×3×cos 60°＋5×7×cos 45°＋3×7×cos 45°) ＝98＋56， 所以AC′≈13.3. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正方体的棱长为1，设，，，则（    ）    A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据垂直关系结合空间向量的数量积分析求解. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：A. 【变式2】（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知空间向量两两夹角为，且，则 ． 【答案】 【分析】先计算出，再运用向量的模长公式展开，代入即得. 【详解】依题意，， 则 ， . 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解； （2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解. 【详解】（1） 因为, 所以 . （2）, , , , 所以, 因为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值为. 易错辨析　混淆向量的夹角与空间角 如图所示，在平面角为120° 的二面角α－AB－β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长． 【详解】∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴·＝0，·＝0. ∵二面角α－AB－β的平面角为120°，∴〈，〉＝180°－120°＝60°. ∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 60°＝144， ∴CD＝12 【易错警示】 易错原因 纠错心得 本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向量夹角的概念，而误认为向量，的夹角〈，〉＝120°，得到错误答案CD＝6. 利用数量积的性质求解有关平面或空间中角的问题时，要特别注意向量的夹角与所求角的区别与联系，切不可忽略角的取值范围而盲目套用．利用向量求二面角的平面角时，一般不能保证所求的角就是二面角的平面角，也有可能是二面角的平面角的补角，这时要结合实际图形对所求的角进行适当的处理. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据数量积的几何意义即可求解. 【详解】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为， 由数量积的几何意义可知，. 故选：A 2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知向量，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】解：因为向量， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为： ， 故选：A 3．（20-21高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A. 【详解】对于A，若，则且，不能得到，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，若，且，则，则，无法得出，所以C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误， 故选：B 4．（23-24高二上·福建福州·期末）如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，利用结合向量的数量积的运算公式，即可求解． 【详解】因为二面角的大小为，，，，，， 所以与的夹角为，又因为， 所以 ， 所以，即． 故选：A． 二、多选题 5．（2023·福建厦门·一模）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用空间数量积的定义、运算性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，向量不能作除法，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：BD. 6．（23-24高二上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的为（    ） A．设，是两个空间向量，则 B．若空间向量，满足，则 C．若空间向量，，满足，，则 D．在正方体中，必有 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的相关概念和运算逐项分析判断. 【详解】对于选项A：根据数量积的定义可知：，故A为真命题； 对于选项B：根据向量的定义可知，，但向量的方向无法确定， 所以不一定成立，故B为假命题； 对于选项C：根据向量相等的定义可知：若，，则，故C真命题； 对于选项D：在正方体中，，且方向相同， 所以，故D为真命题. 故选：ACD. 三、填空题 7．（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知空间中四点A，B，E，C，若，则 .（填“”“ //”或“”） 【答案】 【分析】由已知可得，再判断垂直关系. 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据投影向量的定义代入公式求解即可. 【详解】在上的投影向量为 ， 故答案为：. 9．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 . 【答案】3 【分析】根据向量线性运算法则有，平方后利用数量积的运算求解． 【详解】由题意知，所以 ， 即， 解得，即. 故答案为：3. 四、解答题 10．（20-21高二·江苏·课后作业）证明空间向量数量积的运算律(2)：(交换律)． 【答案】证明见解析﹒ 【分析】利用数量积的定义即可证明﹒ 【详解】与的夹角为＜，＞，与的夹角为＜，＞，显然＜，＞ ＝ ＜，＞＝ θ， ∴ 11．（21-22高二·全国·课后作业）已知是空间向量，根据下列各条件分别求： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用空面向量的余弦夹角公式进行求解；（2）根据向量数量积的运算法则计算出，进而求出夹角；（3）根据向量数量积的运算法则计算出，进而求出夹角；（4）根据向量数量积运算法则计算出，得到夹角. 【详解】（1），，故 （2）因为，所以，故，因为，所以 （3）因为，所以，故，因为，所以 （4），两边平方得：，故，故，因为，所以 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·江西吉安·期末）在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在正四面体中，根据向量的数量积的运算，即可求解 【详解】如图所示， 由正四面体的性质可得，， 由E是棱中点， ， 故选：A． 2．（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解. 【详解】∵平面，平面，平面， ∴. ∵，，∴， 又，∴E为的中点， ∴. ∵，∴. ∵ ∴＝, 又，∴. 故选：C. 3．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则与一定共线 C．若，则AB与CD为同一线段 D．非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面 【答案】B 【分析】A，由判断即可；BC，利用共线向量的定义判断即可；D，举例判断即可. 【详解】A.当时，满足，但不是钝角，故A错误； B.当时，，所以与一定共线，故B正确； C.当时，则与共线，但线段与可能只是平行关系，故C错误； D.如图所示： 设， 显然满足与，与，与都是共面向量，但､､不共面，故D错误； 故选：B. 4．（23-24高二上·河北保定·开学考试）如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出在上的投影向量，从而求得正确答案. 【详解】如图，取在下底面的投影C，作，垂足为D. 连接，，，则，在上的投影向量是. 设上底面的半径为r，则，. 故在上的投影向量是. 故选：C    二、多选题 5．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据数量积的运算律判断A、B，根据向量数乘的运算律判断C，利用反例说明D. 【详解】对于A：，则表示与向量共线的一个向量， ，则表示与向量共线的一个向量， 故A错误； 对于B：，，故B错误； 对于C：根据向量数乘的分配律知，故C正确； 对于D：若与不共线时，不存在使得， 且当，时与共线，但是也不存在使得，故D错误； 故选：ABD 6．（22-23高二上·浙江·期末）下列四个结论正确的是（    ） A．若空间中的，，，满足，则，，三点共线 B．空间中三个向量，，，若，则，，共面 C．空间中任意向量，，，都满足 D．若，则为钝角 【答案】AB 【分析】根据共线向量定理可判断A，根据共面向量的概念可判断B，根据向量数量积及向量数乘的概念可判断C，根据向量数量积的定义可判断D. 【详解】对于A，因为，则，即， 所以，所以A，B，C三点共线，故A正确； 对于B，空间中三个向量，，，若共线，则，，共面，故B正确； 对于C，是与共线的向量，是与共线的向量， 而与方向不确定，故无法确定与是否相等，故C错误； 对于D，当非零向量方向相反时，，此时向量夹角为，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 7．（2024高二·全国·专题练习）已知向量两两夹角为，且，则 ． 【答案】 【分析】利用空间向量数量积公式计算出，从而求出答案. 【详解】由题意可得： ， 故. 故答案为：. 8．（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    【答案】12 【分析】首先表示向量，平方后，利用数量积公式，即可求解. 【详解】， , 因为平面，平面， 所以，， 所以， 则. 故答案为： 9．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算得到轨迹，再把目标式表示为函数，利用三角函数有界性求解即可. 【详解】   设的中点为，因为动点满足，所以， 即点在以为球心，以为半径的球面上. 因为，所以. 因为正四面体的棱长为4，所以， 在三角形中，，. 取的中点为，， 所以在上的投影向量的模为，所以. 设，夹角为， 所以. 因为， 所以，即的最大值为. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，代入数值直接求得结果； （2）化简可得，然后采用先平方再开方的方法求解出，则的长可知. 【详解】（1）. （2）因为， 所以 ， 所以的长为. 11．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 【答案】(1) (2)，答案见解析 【分析】（1）因为为与的交点，得到，再由空间向量的线性运算，即可求解； （2）根据，结合向量的运算，求得，再由空间向量的线性运算和数量积的运算，即可求解. 【详解】（1）解：因为为与的交点，所以， 又因为， 所以. （2）解：因为 ，所以， 因为，所以 . 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高二上·湖南怀化·期末）如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案. 【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为， ， ， ， 故选：A. 二、填空题 2．（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据线面、线线位置关系，结合投影向量的定义确定在向量上的投影向量. 【详解】四棱锥，底面是矩形，则，即， 且，由底面，底面，则， 由，面，则面， 又面，则，故向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 三、解答题 3．（20-21高二·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，E为棱上的动点.求向量在向量方向上投影的数量的取值范围. 【答案】 【分析】设，利用向量基本定理知，计算 ，知向量在向量方向上投影的数量为，进而求得其取值范围. 【详解】由已知E为棱上的动点，设 因为 所以 所以向量在向量方向上投影的数量为， 又，， 所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为 【下节预览】 一、解答题 1（23-24高二上·安徽·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点． (1)若，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2)3 【分析】（1）先根据空间向量得线性运算将用表示，再根据空间向量基本定理即可得解； （2）先利用余弦定理求出，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】（1） ， 又， ∴，，； （2）由余弦定理得， 易知； 故 ， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$