1.1.2：空间向量的数量积运算（6大题型）-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2：空间向量的数量积运算 【考点归纳】 · 考点一、数量积的计算 · 考点二、投影向量 · 考点三、空间向量数量积求解夹角和模 · 考点四：空间向量数量积求最值问题 · 考点五：空间向量数量积的应用 · 考点六：空间向量数量积的综合问题 【知识梳理】 知识点一　空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 知识点二　空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 知识点三　 向量a的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【例题详解】 题型一、数量积的计算 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（23-24高二上·江西吉安·期末）在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．7 题型二、投影向量 4．（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东深圳·期中）在直三棱柱中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    题型三、空间向量数量积求解夹角和模 7．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 9．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 题型四：空间向量数量积求最值问题 10．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ． 11．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 12．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知是棱长为1的正方体内（含正方体表面）任意一点，点是棱的中点，则的最大值为 ． 题型五：空间向量数量积的应用 13．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则 . 14．（23-24高二上·山东济宁·期中）在四棱柱中，若底面是边长为1的正方形，，，则四棱柱对角线的长为 ． 15．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，是的中点，在上，且，则向量与向量所成角的余弦值为 ．    题型六：空间向量数量积的综合问题 16．（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求；(2)求CD的长. 17．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 18．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【高分演练】 一、单选题 19．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 20．（2024高二·全国·专题练习）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二上·福建福州·期末）如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在长方形中，为中点，.以为折痕将四边形折起，使，分别达到，，当异面直线，成角为时，异面直线，成角余弦值为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·广东河源·期末）如图，在正三棱锥中，高，，点分别为的中点，则（   ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 26．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 27．（23-24高二上·广西北海·期末）如图，在直三棱柱中，为上一点，为上一点，，则（    ）    A．直线和为异面直线 B．异面直线与的夹角为 C． D． 28．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列说法中正确的有（   ）    A．异面直线与所成的角为 B． C． D．直线与所成角的余弦值为0 29．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，平行六面体中，，AC与BD交于点O，则（    ） A．平面平面 B． C．若，则 D．若，则平行六面体的体积 三、填空题 30．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ． 31．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则 32．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知空间向量两两夹角为，且，则 ． 33．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则= 34．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）如图，两个正方形，的边长都是8，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的四等分点，N为对角线DF的中点，则线段 ． 四、解答题 35．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 36．（2024高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. (1)用向量表示； (2)求. 37．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 38．（23-24高二上·江西赣州·期中）在平行六面体中，，，E为线段上更靠近的三等分点 (1)用向量，，表示向量； (2)求； (3)求. 39．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2：空间向量的数量积运算 【考点归纳】 · 考点一、数量积的计算 · 考点二、投影向量 · 考点三、空间向量数量积求解夹角和模 · 考点四：空间向量数量积求最值问题 · 考点五：空间向量数量积的应用 · 考点六：空间向量数量积的综合问题 【知识梳理】 知识点一　空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 知识点二　空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 知识点三　 向量a的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【例题详解】 题型一、数量积的计算 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】以为基底表示后可求的值. 【详解】由正三棱柱可得，， 而， 故 . 故选：A. 2．（23-24高二上·江西吉安·期末）在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在正四面体中，根据向量的数量积的运算，即可求解 【详解】如图所示， 由正四面体的性质可得，， 由E是棱中点， ， 故选：A． 3．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】A 【分析】利用正四面体的性质，结合空间向量数量积的运算法则即可得解. 【详解】将正四面体放在正方体中，如图，    因为在正四面体中，棱长为2，两两夹角为， 所以， 因为是棱中点，所以， 又， 所以 . 故选：A. 题型二、投影向量 4．（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为. 故选：B 5．（23-24高二上·广东深圳·期中）在直三棱柱中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用几何关系作出向量在向量上的投影即可. 【详解】如图，过作，垂足为，过作，垂足为，连接．    因为在直三棱柱中，，平面， 所以平面，且平面，所以． 又平面，，所以平面， 又平面，则． 所以向量在向量上的投影向量为， 由，，得， ，所以 则，即， 即向量在向量上的投影向量为. 故选：D 6．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    【答案】 【分析】写出表达式，求出，即可得出向量在向量上的投影向量. 【详解】由题意， 在三棱锥中，已知平面， , ∵面， ∴， 在中，，， ∴, ， ∴向量在向量上的投影向量为： ， 故答案为：. 题型三、空间向量数量积求解夹角和模 7．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求结论. 【详解】因为 所以， . 故选：B. 8．（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解. 【详解】∵平面，平面，平面， ∴. ∵，，∴， 又，∴E为的中点， ∴. ∵，∴. ∵ ∴＝, 又，∴. 故选：C. 9．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的即可求出夹角的余弦值. 【详解】 ， 故， 所以. 故选：B. 题型四：空间向量数量积求最值问题 10．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设，，根据向量的线性运算将用已知向量表示，再利用数量积运算得到的表达式，利用二次函数求出最小值. 【详解】如图，设，， 在中，， ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 11．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算得到轨迹，再把目标式表示为函数，利用三角函数有界性求解即可. 【详解】    设的中点为，因为动点满足，所以， 即点在以为球心，以为半径的球面上. 因为，所以. 因为正四面体的棱长为4，所以， 在三角形中，，. 取的中点为，， 所以在上的投影向量的模为，所以. 设，夹角为， 所以. 因为， 所以，即的最大值为. 故答案为： 12．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知是棱长为1的正方体内（含正方体表面）任意一点，点是棱的中点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】 由题意得，求出在上的投影加上在上的投影得最大值即可. 【详解】因为点是棱的中点，所以， 则 而表示在上的投影， 表示在上的投影， 当点在棱上时，表示在上的投影取得最大值， 表示在上的投影也取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型五：空间向量数量积的应用 13．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则 . 【答案】 【分析】根据二面角的定义，结合空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为分别在半平面内，，二面角等于， 所以， 因为， 所以 ， 所以， 故答案为： 14．（23-24高二上·山东济宁·期中）在四棱柱中，若底面是边长为1的正方形，，，则四棱柱对角线的长为 ． 【答案】 【分析】由空间向量线性运算及数量积的定义及性质运算即可得答案. 【详解】如图，    可得. 则 . 故答案为： 15．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，是的中点，在上，且，则向量与向量所成角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】由题设是棱长为2的正四面体，数形结合可得、，利用向量数量积的运算律及向量夹角公式求向量与向量所成角的余弦值. 【详解】由题意，是棱长为2的正四面体， 而， ， 所以 ， ， 又 ， 所以. 故答案为： 题型六：空间向量数量积的综合问题 16．（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义直接求解即可； （2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以. 17．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解； （2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解. 【详解】（1） 因为, 所以 . （2）, , , , 所以, 因为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值为. 18．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用及向量的运算律和数量积求解即可. （2）利用及向量的数量积求夹角即可. 【详解】（1） ， 所以， 即的长为. （2） ， 又由余弦定理得， 所以设所求异面直线所成角为，. 【高分演练】 一、单选题 19．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律以及模长公式，结合夹角公式即可代入求解. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故 故选：A 20．（2024高二·全国·专题练习）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合正三棱锥的结构特征求出，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】在正三棱锥中，为正的中心，， 则平面，而平面，于是，，且， 所以. 故选：D 21．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 22．（23-24高二上·福建福州·期末）如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，利用结合向量的数量积的运算公式，即可求解． 【详解】因为二面角的大小为，，，，，， 所以与的夹角为，又因为， 所以 ， 所以，即． 故选：A． 23．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在长方形中，为中点，.以为折痕将四边形折起，使，分别达到，，当异面直线，成角为时，异面直线，成角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】不妨设， 由于，所以即为直线，所成的角, 故,又， 所以，因此异面直线，成角余弦值为， 故选：A 24．（23-24高二上·广东河源·期末）如图，在正三棱锥中，高，，点分别为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】在等边中，因为，可得的高为， 所以， 在直角中，可得， 又因为分别为的中点，可得， 在中，可得， 所以. 故选：B. 25．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算对选项一一计算即可得出答案. 【详解】对于A，因为底面，所以底面， 所以，所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以为等边三角形，所以， 所以 ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，， 故D错误. 故选：C. 二、多选题 26．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 【答案】ABC 【分析】根据空间向量运算、夹角、体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设正方体的棱长为， A选项， ，A选项正确； B选项， ，B选项正确； C选项，由于三角形是等边三角形，所以，C选项正确； D选项，，所以D选项错误. 故选：ABC 27．（23-24高二上·广西北海·期末）如图，在直三棱柱中，为上一点，为上一点，，则（    ）    A．直线和为异面直线 B．异面直线与的夹角为 C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，根据已知证明四点共面来排除；对于B，用平移一条直线的方法找到异面直线所成的角，并求解；对于C，用向量的加法法则表示未知向量；对于D，用向量求模的公式表达并运算. 【详解】因为，由已知得，所以在内，， 所以，所以四点共面，故A不正确； 因为，所以为异面直线与所成的角. 因为，所以为等腰直角三角形，故B正确； 因为，所以与相似，因为，所以. ，故C不正确； 因为，故D正确. 故选：BD 28．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列说法中正确的有（   ）    A．异面直线与所成的角为 B． C． D．直线与所成角的余弦值为0 【答案】BD 【分析】A选项，由异面直线夹角范围可判断选项正误；B选项，由向量首尾相连法则结合图形可判断选项正误；C选项，由B选项结合向量模长公式可判断选项正误；D选项，注意到，后由向量夹角余弦公式可判断选项正误. 【详解】A选项，因异面直线夹角范围为，故A错误； B选项，由图可知，又，则，故B正确. C选项，由题可得，， 则 ，故C错误； D选项，，因. 又，则 ，故D正确. 故选：BD 29．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，平行六面体中，，AC与BD交于点O，则（    ） A．平面平面 B． C．若，则 D．若，则平行六面体的体积 【答案】ACD 【分析】根据线面垂直证明面面垂直可判断A，根据向量的线性运算判断B，根据向量的夹角公式判断C，利用棱柱、棱锥体积间的关系判断D. 【详解】如图， 对于A，因为在平行四边形ABCD中，，所以四边形ABCD为菱形， 所以，因为，， 所以，，所以， 因为，所以 所以，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，所以A正确； 对于B，因为四边形ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点， 所以，所以，所以B错误； 对于C，设，因为在菱形ABCD中，， 所以， 所以，所以C正确； 对于D，连接，因为，所以， 所以为直角三角形，即，因为，所以， 因为由选项A知BD⊥平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以平行六面体的体积 ， 所以D正确. 故选：ACD 三、填空题 30．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据空间向量线性运算，得，，再计算. 【详解】 正四面体的棱长为1， ， 又点是的中点，， 又， . 故答案为：. 31．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则 【答案】 【分析】由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解. 【详解】因为平面，面， 所以，所以， 又，所以， . 故答案为：. 32．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知空间向量两两夹角为，且，则 ． 【答案】 【分析】先计算出，再运用向量的模长公式展开，代入即得. 【详解】依题意，， 则 ， . 故答案为：. 33．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则= 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得，再由空间向量的模长公式计算即可得. 【详解】因为， 所以 ， 故. 故答案为：. 34．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）如图，两个正方形，的边长都是8，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的四等分点，N为对角线DF的中点，则线段 ． 【答案】 【分析】根据已知得出.然后表示可得，根据空间向量数量积的运算律，可得，代入求解即可得出答案. 【详解】由题意可知，，， 所以为的平面角， 所以，. 因为， 所以， 所以，. 因为，所以. 所以，， 所以， . 因为，所以， 所以，. 故答案为：. 四、解答题 35．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，代入数值直接求得结果； （2）化简可得，然后采用先平方再开方的方法求解出，则的长可知. 【详解】（1）. （2）因为， 所以 ， 所以的长为. 36．（2024高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. (1)用向量表示； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解； （2）先计算，再开方即可求解. 【详解】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. 所以； （2）因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1， 所以，， 所以， 所以 ，所以. 37．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）表达出，平方后，结合数量积运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）设，，，由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 38．（23-24高二上·江西赣州·期中）在平行六面体中，，，E为线段上更靠近的三等分点 (1)用向量，，表示向量； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解； （2）根据向量数量积的运算性质及数量积的定义运算即可； （3）根据向量的线性运算及向量的数量积的定义及运算性质求解. 【详解】（1）如图，   . （2） , . （3） . 39．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，结合空间向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）根据题意，求得且，结合空间向量的数量积和模的运算，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 根据空间向量的运算法则，可得. （2）解：因为，，， 可得且， 则 ，所以， 即线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$