1.2 空间向量基本定理 精讲（5大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2 空间向量基本定理 重点：类比平面向量基本定理，理解并掌握空间向量基本定理； 难点：熟练运用基底表示向量，并能解决平行、垂直、夹角、距离等问题。 一、空间向量基本定理 （1）定义：如果三个向量不共面， 那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使. （2）基底与基向量：如果三个向量不共面， 那么所有空间向量组成的集合就是， 这个集合可以看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底， 都叫做基向量。 说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 二、空间向量的正交分解 1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底， 特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底， 通常用表示。 2、正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正角分解。 三、判断基底的基本思路及方法 1、基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底，若不共面，则能构成基底； 2、方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设（），运用空间向量基本定理，建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底。 四、用基底表示向量的步骤 1、定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底； 2、找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果； 3、下结论：利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量。 题型一 基底的概念与判断 【例1】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-1】（2023秋·辽宁·高二校联考期末）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023春·福建·高二莆田第二十五中学校考期中）（多选）设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋·河北保定·高二统考期末）在以下命题中： ①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面； ②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线； ③对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 ④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底 ⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 用基底表示空间向量 【例2】（2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）如图，在三棱锥中，，，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，则向量可表示为（ ） A． B． C． D． 题型三 利用基本定理求参数 【例3】（2023春·江西·高二校联考开学考试）如图，在三棱柱中，，分别是，的中点，，则（ ） A．1 B． C．0.5 D． 【变式3-1】（2022秋·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（ ） A． B． C．1 D． 【变式3-2】（2023秋·河北邢台·高二统考期末）在平行六面体中，，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2022·全国·高二假期作业）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平