1.2：空间向量基本定理（5大题型）-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

1.2：空间向量基本定理 【考点归纳】 · 考点一、空间的基底 · 考点二：用空间基底表示向量 · 考点三、空间向量基本定理 · 考点四、求夹角、长度问题 · 考点五、空间向量证明平行、共面、垂直问题 【知识梳理】 知识点一　空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 知识点二　空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点三　证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 知识点四　求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 知识点五　求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 【例题详解】 题型一、空间的基底 1．（23-24高二上·广东·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东东莞·期末）若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 题型二：用空间基底表示向量 4．（23-24高二下·福建莆田·期末）斜三棱柱中，设，，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·甘肃·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（    ） A． B． C． D． 题型三、空间向量基本定理 7．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 8．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 9．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 题型四、求夹角、长度问题 10．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 11．（23-24高二上·四川凉山·期末）三棱柱中，为中点，点在线段上，．设，， (1)试用，，表示向量； (2)若，，求的长． 12．（23-24高二上·浙江湖州·阶段练习）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且. 设.    (1)试用表示向量； (2)若，求的长. 题型五、空间向量证明平行、共面、垂直问题 13．（23-24高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量； (2)利用向量法证明：． 14．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，N是的中点，设，，． (1)用、、表示向量，并求的长； (2)求证：平面． 15．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）如图，在三棱台中，，分别为棱，的中点．设，，．    (1)用，，表示，，； (2)若，用向量的方法证明∥平面． 【高分演练】 一、单选题 16．（23-24高一下·浙江宁波·期末）若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·河南焦作·期末）如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 18．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 19．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）如图，在三棱锥中，点满足，则（    ） A． B． C．2 D． 20．（23-24高二上·广东·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·江西新余·期末）已知点D在确定的平面内，O是平面外任意一点，正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二上·云南曲靖·期末）在四面体中，点在上，且为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱的中点，且，则（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 二、多选题 24．（23-24高二上·内蒙古·期末）已知是空间的一个单位正交基底，则（    ） A． B．构成空间的一个基底 C． D．构成空间的一个基底 25．（23-24高二上·江西·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，若，则（    ）    A． B． C． D． 26．（23-24高二上·广东广州·期末）下列结论错误的是（    ） A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若非零向量与平行，则A，B，C，D四点共线 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若，则是P，A，B，C四点共面的充要条件 27．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）如图, 在四棱锥中, 底面是平行四边形, , 若 , 则（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 28．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则 ．    29．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 30．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，则的长为 ． 31．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 四、解答题 32．（23-24高二下·江苏淮安·期中）如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 33．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 34．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 35．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图：三棱柱中，，是的中点． (1)求的长； (2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 36．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2：空间向量基本定理 【考点归纳】 · 考点一、空间的基底 · 考点二：用空间基底表示向量 · 考点三、空间向量基本定理 · 考点四、求夹角、长度问题 · 考点五、空间向量证明平行、共面、垂直问题 【知识梳理】 知识点一　空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 知识点二　空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点三　证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 知识点四　求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 知识点五　求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 【例题详解】 题型一、空间的基底 1．（23-24高二上·广东·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】空间的基向量必定不共面，即不能互相表出，而判断选项中的三个向量是否共面，只需判断能否找到唯一的实数，使其中一个向量能用另外两个向量线性表出即可. 【详解】因构成空间的一个基底，故不共面， 对于A项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故A项错误； 对于B项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故B项错误； 对于C项，因，故共面，即C项正确； 对于D项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故D项错误. 故选：C. 2．（23-24高二上·广东东莞·期末）若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出共面，故不能构成空间的一个基底，D正确，ABC选项向量均不共面，可构成空间的一个基底. 【详解】是空间的一个基底，故不共面， A选项， 设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； B选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； C选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； D选项，设， 则，得 ， 故共面， 故不可构成空间的一个基底. 故选：D 3．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基底的概念及空间向量的共面定理一一分析即可. 【详解】易知：，则与共面， 同理，， 即、均与共面， 所以A、B、D三项均不能和构成空间的另一个基底，故A、B、D错误； 设，显然无法成立，即与不共面，故C正确. 故选：C 题型二：用空间基底表示向量 4．（23-24高二下·福建莆田·期末）斜三棱柱中，设，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】因为 . 故选：A. 5．（23-24高二下·甘肃·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理结合向量的线性运算，用基底表示即可. 【详解】连接，如图， 因为是的中点，所以 . 故选：B 6．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合几何图形，利用向量的线性运算公式，即可求解. 【详解】， ， . 故选：A 题型三、空间向量基本定理 7．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解. 【详解】， 又，所以， 所以. 故选：B 8．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再借助空间向量基本定理求解即得. 【详解】在四面体中，由分别为线段的中点， 得， 而，由空间向量基本定理得：， 所以. 故选：A 9．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解即可. 【详解】结合图形可知： 是的中点，,, ， 是的中点，, , 即, ，，. 故选：C. 题型四、求夹角、长度问题 10．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，延长，交于，根据三角形重心的性质与该四棱锥的结构特征，算出用基底表示向量的式子； （2）根据题意，、、两两垂直，可用向量数量积的运算性质，结合题中所给的数据算出线段的长． 【详解】（1）连接，延长，交于， 由为的重心，得是边上的中线，且， 结合，得， 因为，所以，整理得， 因此，； （2）因为底面，，底面是边长为的正方形， 所以，，， 可得 ， 所以，即线段的长为． 11．（23-24高二上·四川凉山·期末）三棱柱中，为中点，点在线段上，．设，， (1)试用，，表示向量； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合几何图形，利用空间向量的线性运算求解即得. （2）由（1）的结论，利用空间向量的数量积运算计算即得. 【详解】（1）三棱柱中，为中点，点在线段上，， 则，， 因此 . （2），， 则，同理得， 所以 . 12．（23-24高二上·浙江湖州·阶段练习）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且. 设.    (1)试用表示向量； (2)若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量加减法及向量数乘的几何意义，基底法表示； （2）利用向量的数量积运算求解向量的模. 【详解】（1） ， 又，，， ∴． （2）因为，． ，．， ， ， ． 题型五、空间向量证明平行、共面、垂直问题 13．（23-24高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量； (2)利用向量法证明：． 【答案】(1) (2)证明详见解析 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求得正确答案. （2）通过证明来证得结论成立. 【详解】（1）连接，则 （2）， 所以 ， 所以.    14．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，N是的中点，设，，． (1)用、、表示向量，并求的长； (2)求证：平面． 【答案】(1), (2)证明见解析 【分析】（1）在三角形,三角形,正方形等闭合路径中进行向量转化，将向量用、、表示，再平方将向量实数化求出向量的模即的长. （2）先用基向量法求，可证得，结合正方形中,可证得平面. 【详解】（1）因为是的中点，底面是正方形， 所以 ， 又，，， 且，， 所以 ， 所以，即的长为． （2）因为 ， 所以，即. 又在正方体中，， 且，平面 所以平面. 15．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）如图，在三棱台中，，分别为棱，的中点．设，，．    (1)用，，表示，，； (2)若，用向量的方法证明∥平面． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由向量的线性运算即可求解. （2）待定系数并结合向量线性运算即可证明向量，，共面，从而得证. 【详解】（1）因为，分别为棱，的中点，所以， . （2）因为，所以， 因为，所以， 设，所以由（1）可知， 解得，，， 向量，，共面，又平面， 所以平面. 【高分演练】 一、单选题 16．（23-24高一下·浙江宁波·期末）若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用表示即可得. 【详解】由是空间中的一组基底，故两两不共线， 对A：有，故A错误； 对B：设，则有， 该方程无解，故可与构成基底，故B正确； 对C：有，故C错误； 对D：有，故D错误. 故选：B. 17．（23-24高二下·河南焦作·期末）如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加、减、数乘运算，将所求向量用表示即可求解. 【详解】因为，所以， 又，即， 所以， 因此. 故选：A. 18．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以，，作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】依题意 ， 所以 ， 所以，即. 故选：C 19．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）如图，在三棱锥中，点满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算进行求解. 【详解】， 所以，故． 故选：C. 20．（23-24高二上·广东·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：D 21．（23-24高二上·江西新余·期末）已知点D在确定的平面内，O是平面外任意一点，正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间四点共面的性质，结合基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，且四点共面， 由空间四点共面的性质可知，即， 又， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 22．（23-24高二上·云南曲靖·期末）在四面体中，点在上，且为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图形，由几何性质转换成向量的线性运算，把分解成基底的线性组合即可求解. 【详解】 由题意为的中点， 所以， 而构成空集的一组基底， 所以. 故选：B. 23．（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱的中点，且，则（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】利用空间向量的基本运算及数量积公式表示出，计算即可. 【详解】底面为菱形，， , 为棱的中点, ， 解得. 故选: A. 二、多选题 24．（23-24高二上·内蒙古·期末）已知是空间的一个单位正交基底，则（    ） A． B．构成空间的一个基底 C． D．构成空间的一个基底 【答案】ACD 【分析】A.根据均为单位向量且两两垂直判断；B.利用基底的定义判断；C.利用数量积的运算律求解判断；D.利用基底的定义判断. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底，所以均为单位向量且两两垂直，所以，A正确． 因为，所以不能构成空间的一个基底，B错误． ，C正确． 因为不存在实数，使得，所以构成空间的一个基底，D正确． 故选：ACD 25．（23-24高二上·江西·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形依次判断即可求解. 【详解】A：，故A错误； B：，故B正确； C：，故C正确； D：，故D错误． 故选：BC. 26．（23-24高二上·广东广州·期末）下列结论错误的是（    ） A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若非零向量与平行，则A，B，C，D四点共线 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若，则是P，A，B，C四点共面的充要条件 【答案】AB 【分析】利用空间向量运算判断A；利用共线向量的意义判断B；利用空间向量基底的概念判断C；利用空间共面向量定理判断D. 【详解】对于A，当非零空间向量满足，时， 与不一定平行，也可能垂直，错误； 对于B，当非零向量与平行时，A，B，C，D四点共线或直线与直线平行，错误； 对于C，若不能构成空间的一组基底，则共面， 故存在，使得， 即，由于是一组基底向量， 所以无解，故能构成空间的一组基底，正确； 对于D，，若， 则，化简得， 因此P，A，B，C四点共面四点共面， 反之，若P，A，B，C四点共面，则存在唯一实数对使得， 所以，所以， 又，所以，故， 所以是P，A，B，C四点共面的充要条件，正确. 故选：AB 27．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）如图, 在四棱锥中, 底面是平行四边形, , 若 , 则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用空间向量的基本定理结合向量的线性运算可求解判断. 【详解】对于A，, 故A正确； 对于B， , 故B正确； 对于C， , 故C正确； 对于D，, 故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 28．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则 ．    【答案】 【分析】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得. 【详解】连接，因为点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，    所以 ， 所以. 故答案为：. 29．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 【答案】 【分析】由是的中点，可得，再由向量的线性运算可得,即可得答案. 【详解】解：连接，如图所示： 因为是的中点，分别是，的中点， 所以 , 又因为， 所以， 所以. 故答案为： 30．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算及数量积公式，结合向量的模公式即可求解. 【详解】在平行六面体中，，    由，， 得，由是正方形，得， 所以 . 故答案为： 31．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 【答案】 5 【分析】利用向量的线性运算，即可求得结果;再利用向量的平方等于向量模的平方，结合向量的数量积运算，即可求出模长. 【详解】 由可得：， 由得：， 所以， 即； 又由各边及其对角线的长都是6，即各面都是等边三角形， 所以， 则 所以， 故答案为：①,②. 四、解答题 32．（23-24高二下·江苏淮安·期中）如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得； （2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）由图可得，; （2）由题意，， 则， 于是，由两边取平方， ， 故. 33．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用空间向量的运算法则即可表示出结果，再将平方可求得模长为； （2）易知，求出，再由向量夹角计算公式可求得余弦值为. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以， ， 则. 则与所成的角的余弦值为. 34．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 35．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图：三棱柱中，，是的中点． (1)求的长； (2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将用表示，再根据向量的模和数量积的运算律即可得解； （2）先将用表示，根据，可得，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】（1）， 因为， 所以， 则 ， 所以的长为； （2）， 因为，所以， 即，即，解得. 36．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用向量证明，然后可证； （2）以为基底表示出，然后根据求解可得； （3）利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可. 【详解】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ，                     若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时，    （3）， ， ， 所以 ，所以的长为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$