2023年九年级中考数学重难点专题突破：平行四边形的存在性问题

专题突破：平行四边形的存在性问题 平行四边形的存在性处理问题中，我们常会遇到这样2类探究性问题：①已知三点的位置，在平面内找一个动点，使得这四点构成平行四边形；（简称：三定一动）②已知两个点的位置，在平面内找两个动点，使得这四点构成平行四边形；（简称：两定两动）。 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步：寻找分类标准；第二步：画图；第三步计算． 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快． （1）如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：画图方法是以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．（画图方法或者是以已知三个定点为三角形的顶点，过每个顶点画对边的三角形中线并延长和中线等距，产生3个等距延长线的端点） （2）如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便． 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便． 两个很重要的公式——①中点坐标公式：如图，若点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，M为AB的中点，则点M的坐标为(，)． ②平行四边形顶点坐标公式：如图，若▱ABCD的顶点坐标分别为A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，则有xA＋xC＝xB＋xD，yA＋yC＝yB＋yD，即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等． 两种常考类型：模型1　求作平行四边形的方法——三定顶点，一动顶点 问题： 已知平面不共线三个点A，B，C，求点P，使得A，B，C，P四个点组成平行四边形． 找点： 连接AB，AC，BC，分别过点A，B，C作对边的平行线，三条平行线的交点即为所作点P. 求点的坐标： ①先求出直线P1P2，P2P3，P3P1的解析式，再求出三条直线的交点坐标即为点P的坐标； ②可由点的平移来求点P的坐标． 【例1】　如图，已知A(1，2)，B(5，3)，C(3，5)，在平面直角坐标系内确定点D，使得以A，B，C，D四个点为顶点的四边形是平行四边形． 解：设D点坐标为(m，n)． ①当CD∥AB时，D1(7，6)，D2(－1，4)； ②当AD∥BC时，D2(－1，4)，D3(3，0)； ③当BD∥AC时，D1(7，6)，D3(3，0)． 综上所述，点D的坐标为(7，6)，(－1，4)或(3，0)． 针对练习： 1．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝－x＋3分别与x轴、y轴交于点B，C，且与直线l2：y＝x交于点A.若D是线段OA上的点，且△COD的面积为3，在平面内是否存在点P，使以O，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 解：对于y＝－x＋3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝6， ∴B(6，0)，C(0，3)． 联立解得 ∴A(3，)． 设D(x，x)(0<x<3)，∵△COD的面积为3， ∴×3×x＝3，解得x＝2.∴D(2，1)． ①当DP∥OC时，P1(2，4)，P2(2，－2)； ②当CP∥OD时，P1(2，4)，P3(－2，2)； ③当OP∥CD时，P2(2，－2)，P3(－2，2)． 综上所述，点P的坐标为(2，4)，(2，－2)或(－2，2)． 模型2　求作平行四边形的方法——两定顶点，两动顶点 问题： 已知平面上两个点A，B，求两点P，Q，使得A，B，P，Q四个点组成平行四边形(题目中P，Q的位置有具体限制)． 找点： 分两种情况讨论： ①若AB为平行四边形的边，将AB上下左右平移，确定P，Q两点的位置； ②若AB为平行四边形的对角线，取AB中点，旋转经过中点的直线确定P，Q两点的位置． 求点的坐标： ①通过点的平移，构造全等三角形来求坐标； ②由中点坐标公式可得坐标系中▱APBQ的四个点A，P，B，Q的坐标满足xA＋xB＝xP＋xQ，yA＋yB＝yP＋yQ. 【例2】　如图，已知A(1，1)，B(3，2)，点C在x轴上，点D在y轴上，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点C，D的坐标． 解：设C(m，0)，D(0，n)， ①如图1，当AB为对角线时，解得 ∴C(4，0)，D(0，3)； ②如图2，当AC为对角线时， 解得∴C(2，0)，D(0，－1)； ③如图3，当AD为对角线时， 解得∴C(－2，0)，D(0，1)． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $