第08讲 不等式的基本性质-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第08讲 不等式的基本性质 1．初步学会作差法比较两实数的大小．　 2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 知识点一 不等式 (1)不等式的定义 用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，含有这些不等号的式子叫作不等式． (2)关于a≥b和a≤b的含义 ①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确． ②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确． (3)不等式中常用符号语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 > < ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ 知识点二 两个实数的大小比较 1．文字叙述 (1)当a－b为正数时，称a>b； (2)当a－b为时，称a＝b； (3)当a－b为负数时，称a<b． 2．符号表示 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 3．p⇔q的含义 提示：p⇔q的含义是p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推． 知识点三 不等式的性质 不等式的性质 性质1(自反性) a＞b⇔b＜a 性质2(传递性) a＞b，b＞c⇒a＞c 性质3(加法保号性) a＞b⇔a＋c＞b＋c 性质4(乘正保号性、乘负改号性) a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc 性质5(同向可加性) a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d 性质6(全正可乘性) a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd 性质7(拓展) a>b>0⇒an>bn(n∈N*) 考点一：实数比较大小 例1 (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小； (2)已知a>0，试比较a与的大小． 【总结】 1．利用作差法比较大小的四个步骤 (1)作差：对要比较大小的两个式子作差； (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形； (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号； (4)得出结论． 2．作商法比较大小 如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.方法如下： 依据 a>0，b>0， >1⇔a>b； ＝1⇔a＝b； <1⇔a<b a<0，b<0， >1⇔a<b； ＝1⇔a＝b； <1⇔a>b 应用范围 两同号实数比较大小或分式、积、幂之间比较大小 步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论 变式 已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小． 考点二：不等式的性质 例2 (1)下列命题中正确的是(　　) A.若0>a>b，则a2>b2 B.若a2>b2，则a>b>0 C.若a>b，则<1 D.若a>b，则a3>b3 (2)若c>a>b>0，求证：>. 【总结】 利用不等式的性质判断正误的2种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可； (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 变式 若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 考点三：利用不等式的性质解不等式 例3 解不等式：－>，并用不等式的性质说明理由． 【总结】 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似，但要注意解不等式时，在去分母和系数化为1时，不等号有可能改变方向． 变式 已知关于x的方程3(x－2a)＋2＝x－a＋1的解满足不等式2(x－5)≥8a，求a的取值范围． 考点四：利用不等式的性质求代数式的取值范围 例4 已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围． 【总结】 利用不等式的性质求代数式的取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围； (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 变式 （1）已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求的取值范围． 1．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则(　　) A.b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0 C.b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0 2．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是(　　) A.P＞Q B