专题3.3 函数的奇偶性与周期性（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题3.3 函数的奇偶性与周期性 【核心素养】 1.以常见函数为载体，考查函数的奇偶性与周期性，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 2. 与不等式、方程等相结合考查函数的单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养． 3. 与函数、不等式结合，考查函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 知识点一 函数的奇偶性 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2.函数奇偶性的几个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”. 3．有关对称性的结论 (1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称． 若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称． (2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称． 知识点二 函数的周期性 1.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2．常用结论 周期性常用的几个结论如下： 定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的． （1）对时，若或（）恒成立，则是的一个周期； （2）对时，若或或（）恒成立，则是的一个周期； （3）若为偶函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数； （4）若为奇函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数. （5）若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|； 常考题型剖析 题型一：函数奇偶性的判断 【典例分析】 例1-1.（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 例1-2.（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是（    ）． A． B． C． D． 【知识拓展】 (1)奇、偶函数定义域的特点． 由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)奇、偶函数的对应关系的特点． ①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0)． (3)函数奇偶性的三个关注点． ①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数； ②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合； ③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 【变式训练】 变式1-1.（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 变式1-2.（2023·河北·模拟预测）已知函数，则下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二：由函数的奇偶性求解析式（函数值） 例2-1.（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=， 则当x<0时，f(x)= （ ） A． B． C． D． 例2-2.（2023·全国·高三对口高考）已知函数是奇函数，是偶函数，且，则__________． 【规律方法】 应用函数的奇偶性求函数解析式 ①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式． 【变式训练】 变式2-1.（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知是定义域为R的奇函数，时，，则（    ） A．0 B． C． D．2 变式