数学-2024届新高三开学摸底考试卷（天津专用）

2024届新高三开学摸底考试卷（天津专用） 数学·全解全析 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出集合、 、，再求交集可得答案. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以. 故选：D. 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的奇偶性，再取特殊值逐个分析判断即可 【详解】由图象可知，函数图象关于轴对称，所以函数为偶函数， 对于A，，所以是偶函数，当时，令，则，得，则当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以A不合题意， 对于B，因为，所以是奇函数，所以不合题意， 对于C，因为，所以是偶函数，当时，令，则，得，所以当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以符合题意， 对于D，因为，所以是奇函数，所以不合题意， 故选：C 4．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所给数据均在[40，100]内．现将这些分数分成以下6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形则下列说法中有错误的是（    ） A．第三组的频数为18人 B．根据频率分布直方图估计众数为75分 C．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分 D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分 【答案】C 【解析】对于A频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在[60,70）内的频率；对于B根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标即可得解；对于C，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分，对于D，由中位数将所有的小长方形的面积均分即可求解． 【详解】对于A，因为各组的频率之和等于1，所以分数在[60，70）内的频率为：f＝1﹣10（0.005+0.015+0.030+0.025+0.010）＝0.15， 所以第三组[60,70）的频数为120×0.15＝18（人），故正确； 对于B，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故正确； 对于C，又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：45×（10×0.005）+55×（10×0.015）+65×（10×0.015）+75×（10×0.03）+85×（10×0.025）+95×（10×0.01）＝73.5（分），故错误； 对于D，因为（0.05+0.15+0.15）×10＝0.35＜0.5，（0.05+0.15+0.15+0.3）×10＞0.5，所以中位数位于[70,80）上，所以中位数的估计值为：7075，故正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．本题属于中档题． 5．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算法则即可求解. 【详解】由得，所以， 故选：C 6．若所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积． 【详解】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：． 所以外接球的表面积为：． 故选：C 【点睛】本题是基础题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力． 7．已知是抛物线的焦点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线交于，两点，若为等边三角形，则的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲