数学-2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考通用）03

数学-2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考通用）03 数学·答案及评分标准 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C C B A D D B ABC AC AD CD 13． 14． 15． 16．5（答案不唯一） 17． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由同角三角函数的平方关系结合角的象限计算，再由商数关系计算； （2）先由二倍角公式计算和，再代入和差角公式计算即可. 【详解】（1），， （5分） （2）由（1）得， 所以， ， 所以（10分） 18． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设，可用点的坐标表示，根据斜率关系可得的关系，根据导数求出点处切线斜率，从而可证抛物线在点处切线斜率为；． （2） 设，根据题设的共点的直线的斜率关系可得，从而可证、为等差数列，故可证为等差数列． 【详解】（1）设 则，同理． ，即，，． 当时，， ∴抛物线在点处切线斜率为，得证．   （5分） （2）设， 故直线， 令，则，故，同理． 当时， 故 ， 当时，同理有， ∵，故， 整理得到：，因此， 由可得，故， 因此，即为等差数列，设其公差为． 而，故，其中． 又直线，因该直线过， 故，解得， 故，∴， 故，而， 故，∴为等差数列，设其公差为． 故， 故当时， ， 该数为常数． 当时，， 该数为常数， 而， 故，故， 故对任意的，为常数，故数列为等差数列．（12分） 19． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）通过勾股定理，证明出可证得平面. （2）作，垂足为H，连结，证得为与平面所成的角，在中求即可. 【详解】（1）∵，，， 由勾股定理得：， 中，， ∵，∴， 又因为底面，底面，所以， 又因为且平面，∴平面，（6分） （2）作，垂足为H，连结， 因为平面， 平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 所以为与平面所成的角， 中，， ， 所以直线与平面所成角的余弦值为. （12分） 20． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由已知可得，，然后即可根据等差数列的前n项和公式，即可得出答案； （2）由（1）可推得，然后根据错位相减以及等比数列的前n项和公式，即可得出答案； （3）由（1）可推得，进而可得当时，.裂项求和即可得出证明. 【详解】（1）由已知， 所以， 所以，．（2分） （2）由（1）可知，，， 所以， 所以①， ②， 所以①②可得， 所以．（6分） （3）由（1）可推得. 当时，， 所以 ， ， 所以当时，．（12分） 21． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆过点，得到，再由椭圆的离心率为，求出的值，从而求到椭圆的标准方程； （2）对直线的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出，得到结论. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以， 又，，所以，得到， 所以椭圆的标准方程为.（4分） （2）当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根， ， 化简整理得 因为直线与垂直，所以直线的方程为， 联立得，解得， ， 所以 把代入上式得，，所以，为定值； 当直线斜率为0时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为， 此时或，，为定值； 当直线斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为， 此时或，，为定值； 综上所述，，为定值.（12分） 22． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆离心率和焦点三角形周长可求得，即可得出椭圆C的标准方程； （2）易知的轨迹是以OM为直径的圆与圆的交点，求出AB所在的直线方程，并于椭圆方程联立根据弦长公式求得的面积的表达式，再化简变形构造函数即可求得其取值范围. 【详解】（1）设椭圆焦距为2c，根据椭圆定义可知， 的周长为，离心率 联立，解得，， 所以， 即椭圆C的标准方程.（4分） （2）设点，又为切点，可知， 所以四点共圆，即在以OM为直径的圆上， 则以OM为直径的圆的方程为， 又在圆上， 两式相减得直线AB的方程为，如下图所示： 设，，由， 消去y整理后得， ，， 所以 ， 又点O到直线PQ的距离， 设的面积为S，则 ， 其中，令，则， 设，，则， 所以在区间上单调递增，从而得， 于是可得， 即的面积的取值范围为.（12分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考通用）03 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认