1.1.1空间向量及其线性运算（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.1空间向量及其线性运算 一、内容及内容解析 1.内容 （1）空间向量及相关概念 （2）空间向量的概念、表示法，以及长度（模）、零向量、单位向量、相反向量、共线向量（平行向量）、相等向量等相关概念 （3）空间向量的线性运算 （4）空间向量线性运算的运算律 （5）空间向量共线的充要条件 （6）空间向量共面的充要条件 本单元教学需2课时.第一课时，空间向量及其运算；第二课时，空间向量的数量积运算.这里给出第一课时的教学设计. 2.内容解析 （1）内容的本质 向量是具有大小和方向的量，这一概念既适用于平面，也适用于空间.实际上，平面向量都可以看作空间向量，空间向量的概念、表示与平面向量具有一致性. 另外，由于任意两个空间向量都可以平移到一个平面内，两个空间向量的加法、数乘、数量积运算与平面向量也具有一致性.因此学习本节内容的主要方法是类比，即类比平面向量的相关概念学习空间向量的相关概念，类比平面向量的运算学习空间向量的运算，类比用平面向量解决平面几何问题的方法利用空间向量解决简单的立体几何问题. 教学中，要充分关注这种学习的可迁移性，鼓励学生自主探究，在梳理平面向量及其运算的学习内容、过程和方法的基础上，类比提出空间向量及其运算的学习内容、过程和方法，将平面向量及其运算推广到空间. （2）蕴含的思想与方法 教学中，要结合具体问题，引导学生类比利用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”的思路和方法. （3）培育的数学核心素养 学习利用空间向量解决立体几何问题，从中体会用空间向量解决立体几何问题的基本思路和方法，发展数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养. （4）教学重点 在用空间向量解决立体几何问题的过程中，首先要用空间向量表示立体图形中的几何元素，然后利用空间向量的运算研究空间图形之间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题，最后再把空间向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.因此，空间向量的概念及其运算的内容是用空间向量解决立体几何问题的基础，也是本节教学的重点. 二、目标与目标解析 1.本单元教学目标 经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程. 掌握空间向量的线性运算和数量积运算. 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 2.目标解析 达成上述目标的标志是： 通过注意引导学生与平面向量及其运算作类比，让学生经历向量由平面向空间推广的过程； 结合具体实例，学生能在教师启发引导下，掌握在展开空间向量及其运算内容时,教科书同步安排了利用空间向量解决相关的简单立体几何问题的实例； 熟练掌握空间向量的基本概念和基本运算. 三、教学问题诊断分析 1.问题诊断 在本节学习中，由于学生已有“立体几何初步”的基础，已有空间直线、平面平行、垂直等概念，将向量的概念、运算从平面推广到空间对学生来说并不困难，但这一过程仍要一步步地进行.由于现在研究的范围已由平面扩展到空间，而我们研究的是自由向量，一个向量可以确定空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已经不只是一个平面，而是互相平行的“平面集”，这些都需要学生对向量有新的理解.另外，尽管在形式上空间向量的运算、运算律和平面向量一致，但在空间它们的几何表示是不同的，因此需要学生在空间上进一步体会其运算法则、验证其运算律，提高空间想象力，发展直观想象的数学学科核心素养. 2.教学难点 在本节，教科书在给出共线、共面向量的充要条件之后，安排了证明立体几何中四点共面的问题；在数量积运算之后安排了证明直线与平面垂直的判定定理以及其他一些简单的立体几何问题等.对于这些问题，尽管学生已经有了用平面向量解决平面几何问题的一些经验，但是由于初次接触用空间向量解决立体几何问题，图形的维数增加了，也更加抽象了，学生对于如何用空间向量表示立体图形中的相关元素，如何通过运算得出这些元素间的几何关系还比较陌生，因此这是本节教学中的难点. 四、教学支持条件分析 1.技术支持 利用电脑、互联网,可以非常方便快捷地查找到有关史料故事、拓宽视野,感悟数学的文化价值,提高学生的数学文化素养；借助计算器或电脑,可以计算较大数目的数量,获得比较精准的数值；借助实物投影或PPT，展示学生的学习成果， 2.知识储备 让学生体验“文化背景一方法探究——求和公式—公式应用”的完整过程. 五、课时教学设计 1.1.1 空间向量及其线性运算 1.课时教学内容 本节包括空间向量及相关概念、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算等内容. 2.课时教学目标 类比平面向量引入了空间向量及相关概念、空间向量的表示、共线向量与相等向量，并类比平面向量的加减、数乘运算和运算律，引入空间向量的加减、数乘运算和运算律，类比平面向量研究空间向量的共线、共面问题. 通过本小