第29讲 基本不等式 讲义——2023届高三数学一轮复习

第29讲 基本不等式 一．核心知识 核心一：基本不等式 1． 重要不等式 对于任意实数，都有,当且仅当时,等号成立． 2． 基本不等式 （1）基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立． （2）基本不等式的几种变形公式 ①设，则有 （当且仅当时，等号成立．） 其中为调和平均数，为平方平均数，为几何平均数，为算术平均数． 此不等式链又常以的形式出现． 核心二：利用基本不等式求最值 已知都是正数． （1）如果积是定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和是定值，那么当时，积有最大值； 可简记为“积定和最小，和定积最大”． 注意：运用基本不等式解题必须满足三个条件才能进行．即一正．二定，三相等． 具体理解如下：一正，即所求最值的各项都必须为正；二定即含变量的各项和或者积必须是常数；三相等，即具备不等式等号成立的条件，使函数取得最大值或者最小值． 二．重难点题型 题型一：（利用基本不等式）证明不等式 【例1】证明：,则． 【变式】已知在锐角中，，求证：． 题型二：利用基本不等式求最值 1．凑项 【例2】求的最小值． 【变式】求函数的最小值． 2．分离、换元、构造 【例3】已知求函数的值域． 【例4】设,求的最大值． 【变式】已知，且，求的最大值. 【例5】若直线过曲线的对称中心，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【例6】求函数的值域. 【变式】求函数的最大值． 【例7】已知正数满足,,则的取值范围是 ． 【变式1】若且，使不等式恒成立，则实数的取值范围为(　　 ) A． B． C． D． 【变式2】已知函数，若对于任意恒成立，则的取值范围是________． 课后作业 1．若直线过点，则的最小值等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知，若不等式恒成立，则的最大值为(　　 ) A．4 B．16 C．9 D．3 3．设，若，，则的最大值为(　　 ) A． B． C． D． 4．已知，则的最小值为________． 5．已知 则当的值为 时，取得最大值． 6．已知函数．若对于任意的恒成立，则的取值范围是 ． 7．设为正实数，求 的最小值. ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29讲 基本不等式 一．核心知识 核心一：基本不等式 1． 重要不等式 对于任意实数，都有,当且仅当时,等号成立． 2． 基本不等式 （1）基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立． （2）基本不等式的几种变形公式 ①设，则有 （当且仅当时，等号成立．） 其中为调和平均数，为平方平均数，为几何平均数，为算术平均数． 此不等式链又常以的形式出现． 核心二：利用基本不等式求最值 已知都是正数． （1）如果积是定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和是定值，那么当时，积有最大值； 可简记为“积定和最小，和定积最大”． 注意：运用基本不等式解题必须满足三个条件才能进行．即一正．二定，三相等． 具体理解如下：一正，即所求最值的各项都必须为正；二定即含变量的各项和或者积必须是常数；三相等，即具备不等式等号成立的条件，使函数取得最大值或者最小值． 二．重难点题型 题型一：（利用基本不等式）证明不等式 【例1】证明：,则． 【证明】， 另外可以利用作差法证明． . 所以. 【变式】已知在锐角中，，求证：． 【证明】为锐角三角形， ,即． 又， 题型二：利用基本不等式求最值 1．凑项 【例2】求的最小值． 【答案】 【解析】由， 由，得，即. 当且仅当,即时取等号. 故的最小值为. 【变式】求函数的最小值． 【答案】 【解析】因为，所以 当且仅当即当时时取等号，故函数的最小值为9． 2．分离、换元、构造 【例3】已知求函数的值域． 【答案】 【解析】，令，则. ，，当且仅当 即即时取等号．函数的值域为 【例4】设,求的最大值． 【答案】 【解析】, (当且仅当且,即时取“=”)．故的最大值为． 【变式】已知，且，求的最大值. 【解析】由已知得:, 当且仅当取等号.故的最大值为. 【例5】若直线过曲线的对称中心，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】注意到曲线的对称中心是点于是有，当且仅当，即时取等号. 因此的最小值是，故选． 【例6】求函数的值域. 【解析】令，则， 因为，但解得不在区间，故等号不成立，不能使用均值不等式，应考虑双勾函数，利用函数的单调性。 因为在区间单调递增，所以在其子区间为