2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与四边形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与四边形 1．如图①，点G是等边三角形AOB的外心，点A在第一象限，点B坐标为(4，0)，连结OG．抛物线y＝ax（x﹣2）+1+的顶点为P． （1）直接写出点A的坐标与抛物线的对称轴； （2）连结OP，求当∠AOG＝2∠AOP时a的值． （3）如图②，若抛物线开口向上，点C，D分别为抛物线和线段AB上的动点，以CD为底边构造顶角为120°的等腰三角形CDE（点C，D，E成逆时针顺序），连结GE． ①点Q在x轴上，当四边形GDQO为平行四边形时，求GQ的值； ②当GE的最小值为1时，求抛物线的解析式． 2．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜2）．连接AC，BC，DB，DC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）△BCD的面积何时最大？求出此时D点的坐标和最大面积； （3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点B(4，0)，C(0，﹣2)，对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为点A． （1）求抛物线的解析式； （2）点M从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1个单位长度/秒，同时点N从点B出发，沿BA向点A运动，速度为2个单位长度/秒，当点M、N有一点到达终点时，运动停止，连接MN，设运动时间为t秒，当t为何值时，AMN的面积S最大，并求出S的最大值； （3）点P在x轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线经过点、． （1）求抛物线的解析式； （2）是抛物线上一动点，过作轴交直线于点，设点的横坐标为． ①若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求的值． ②当射线、、中一条射线平分另外两条射线的夹角时，直接写出的值． 5．如图1，抛物线过点，，点为直线下方抛物线上一动点，为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线交于点． （1）求抛物线的表达式与顶点的坐标； （2）在直线上是否存在点，使得，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点坐标； （3）在轴上是否存在点，使？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝a（x﹣）（x+）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线DE是抛物线的对称轴，点D在x轴上，点E在抛物线上，直线y＝kx+过点A、C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第二象限对称轴左侧抛物线上一点，过点P作PQ∥AC交对称轴于点Q，设点P的横坐标为t，线段QD的长为d，求d与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，直线AC与对称轴交于点F，点M在对称轴ED上，连接AM、AE，∠AMD＝2∠EAM，过点A作AG⊥AM交过点D平行于AE的直线于点G，点N是线段BP延长线上一点，连接AN、MN、NF，若四边形NMGA与四边形NFDA的面积相等，且FN∥AM，求点P的坐标． 7．如图，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，且当x＝﹣1和x＝3时，y值相等．直线y＝与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M． (1)求这条抛物线的表达式． (2)动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒． ①求t的取值范围． ②若使△BPQ为直角三角形，请求出符合条件的t值； ③t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？直接写出答案． 8．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．已知点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，连接、、． （1）求这个抛物线的表达式． （2）当四边形面积等于4时，求点的坐标． （3）①点在平面内，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点的坐标； ②在①的条件下，点在抛物线对称轴上，当时，直接写出满足条件的所有点的坐标． 9．如图，等腰直角△OEF在坐标系中，有E(0，2)，F(﹣2，0)，将直角△OEF绕点E逆时针旋转90°得到△ADE，且A在第一象限内，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，E．且2a+3b+5=0． （1）求抛物线的解析式． （2）过ED的中点O'作O'B⊥OE于