2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的长； 2．如图，已知是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，交的延长线于点，于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 3．如图，是的直径，点F在上，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点D，延长相交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 4．如图，在中，，D是上一点，过B，C，D三点的交于点E，连接，点F是线段上的一点，连接，其中，是的直径． (1)求证：是的切线． (2)若D是的中点，，求的长． 5．如图，内接于，为优弧上的点，弦与相交于点，且，延长到点，使得． (1)求证：是的切线； (2)若是的中点，，求的长． 6．如图，是⊙O的直径，弦，P为弧上一点，分别与直线交于M、N，延长至点E，使得． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求的长． 7．如图，在中，，，点是上一点，的角平分线交以为直径的于点，过点作，垂足为，恰好过点． (1)求证：是切线； (2)若，求的长． 8．如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点A作的延长线于点，已知平分． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径和的长． 9．如图，是的直径，是的弦，于点D，交于F，与过点B的直线交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为10，，求的长． 10．如图，是四边形外接圆O的直径，，延长到E使得，作射线交的延长线与F，交与G． (1)求证：与相切； (2)若，求的周长． 11．如图，在中，，是角平分线，点O在上，以点O为圆心，长为半径作圆经过点D，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 12．如图，已知、分别为的直径和弦，D为弧的中点，于E，，． (1)求证：是的切线； (2)求直径的长． 13．如图，AB为的直径，C是上一点，D在AB的延长线上，． (1)求证：CD是切线； (2)若，，求的半径长． 14．在四边形中，，E是上一点，以为直径的经过B，D两点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 15．如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使． (1)求证：是的切线． (2)若，，，则______，______． 16．如图，中，，以为直径作半圆交与点，点为的中点，连接. (1)求证：是半圆的切线. (2)若，，求的长. 17．如图，在中，，以为直径的，与边相交于点D，与边相交于点E，过点E作，垂足为点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：点E是的中点； (3)若的直径为18，，求的长． 18．如图，是的直径，是弦，点在圆外，于D，交于点，连接、、，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)设的面积为，的面积为，若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)证明见继续 (2) 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，垂径定理先证明，进而证明，则，由此即可证明是的切线； （2）利用勾股定理在中求出，同理求出，，设，则，，然后利用勾股定理建立等式解答即可． 【解析】（1）证明：如图所示，连接， ∵， 平分弦，平分， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 是的切线； （2）解：，， ∴，， 在中，， ∴，， 在中，， 在中，， 设，则，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，则，，可得，，进而结论得证； （2）由，可得，由可得，证明，则即，求出，根据．可得求得，进而勾股定理即可求解． 【解析】（1）证明：如图，连接 由题意知，， 在和值 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵是半径 ∴是的切线． （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴即 解得 ∵， ∵ ∴ 在中， 【点评】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦值，角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．(1)见解析； (2)4． 【分析】（1）连接，证明即可； （2）连接，证明，然后在中利用勾股定理即可求得； 【解析】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线． （2）解：如图，连接． ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， 则． 又∵， 在中，， 即：， 解得， 则， ∴， 解得．