2023年中考数学压轴题题突破——二次函数与相似三角形

2023年中考数学压轴题题突破——二次函数与相似三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋1与y轴交于点A，顶点B的坐标为(2，－1)． （1）直接写出点A的坐标，并求抛物线的表达式； （2）设点C在x轴上，且∠CAB＝90°，直线AC与抛物线的另一个交点为D． ①求点C、D的坐标； ②将抛物线y＝ax2＋bx＋1沿着射线BD的方向平移，平移后的抛物线顶点仍在线段BD上，点A的对应点为P．设线段AB与x轴的交点为Q，如果ADP与CBQ相似，求点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中， 一次函数的图象分别交、轴于点、，抛物线经过点、，点为第四象限内抛物线上的一个动点． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）如图1所示，过点作轴，分别交直线、轴于点、，若以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，求点的坐标； （3）如图2所示，过点作于点，连接，当中有某个角的度数等于度数的倍时，请直接写出点的横坐标． 3．已知，如图，已知抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点（不与点B重合），于点N，连接CM． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求点N的坐标； （3）是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，8），与x轴交于B、C两点，其中点C的坐标为（4，0）．点P（m，n）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D的坐标为（0，4），连接BD． （1）求该二次函数的表达式及点B的坐标； （2）连接OP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，当以O、P、Q为顶点的三角形与△OBD相似时，求m的值； （3）连接BP，以BD、BP为邻边作▱BDEP，直线PE交y轴于点T． ①当点E落在该二次函数图象上时，求点E的坐标； ②在点P从点A到点B运动过程中（点P与点A不重合），直接写出点T运动的路径长． 5．如图，直线与x轴交于，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）点为x轴上的动点，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线和直线于点C，D． ①若点P在线段上运动，过点C作于点M，当点P的坐标为多少时，面积最大，最大值是多少？ ②在（2）的题干条件下，若与相似，则称此时的点P为“相似点”，请直接写出“相似点”P的坐标． 6．直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为，连接，点为上方的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，连接，交线段于点，若，求此时点的坐标； （3）如图②，连接．过点作轴，交线段于点，若与相似，求出点的横坐标及线段长． 7．如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为．        （1）求点的坐标及抛物线的表达式； （2）记抛物线的顶点为，对称轴与线段的交点为，将线段绕点，按顺时针方向旋转，请判断旋转后点的对应点是否还在抛物线上，并说明理由； （3）在轴上是否存在点，使与相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点的坐标【不必书写求解过程】． 8．二次函数（）的图像经过点A(2，4)、B(5，0)和O(0，0)． （1）求二次函数的解析式； （2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图像的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值； （3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当AMO与ABP相似时，求点M的坐标． 9．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，两点的坐标分别为，直线与边相交于点． （1）求点的坐标； （2）若上抛物线经过两点，试确定此抛物线的解析式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线交点，点为对称轴上一动点，以为顶点的三角形与相似，求符合条件的所有点的坐标． 10．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点，．直线交于点D，点P是直线下方抛物线上一动点，连接．        （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，连接，过点P作于点E，是否存在点P使以P，D，E三点为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知抛物线经过点A(-3，0)，C(0，3)，交x轴于另一点B，其顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上一点，直线CP交x轴于点E，若△CAE与△OCD相似，求P点坐标； （3）如果点F在y轴上，点M在直线AC上，那么在抛物线上是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出菱形的周长；若不存在，请说明理由． 12．如图，已知顶点为