2023年中考高频压轴题突破——二次函数与三角形

2023年中考高频压轴题突破——二次函数与三角形 1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C． （1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为　 　，点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　； （2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标； （3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，设抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0），B（m，0），与y轴交于点C（0，﹣2），且∠ACB＝90度． （1）求m的值和抛物线的解析式； （2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E，求点D和点E的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使以点P，B，D为顶点的三角形与三角形AEB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数的图象与y轴交于C点，交x轴于点A（-2，0），B（6，0），P是该函数在第一象限内图象上的动点，过点P作PQ⊥BC于点Q，连接PC，AC． （1）求该二次函数的表达式； （2）求线段PQ的最大值； （3）是否存在点P，使得以点P，C，Q为顶点的三角形与△ACO相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图所示，抛物线与轴交于两点，，与轴交于，并且对称轴．       （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上方的抛物线上，过的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； （3）点为抛物线对称轴上一点，当是以为直角边的直角三角形时，求点坐标； 5．如图，抛物线与轴相交于两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）已知为线段上一个动点，过点作轴于点．若的面积为． ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②当取得最值时，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线为“郡园牵手抛物线”，这个交点为“郡园点”．例如：抛物线与是“郡园牵手抛物线”，“郡园点”为． （1）如图，若抛物线与为“郡园牵手抛物线”，求的值； （2）在（1）的条件下，若点是第一象限内抛物线上的动点，过作轴，为垂足，求的最大值； （3）在（1）的条件下，设点是抛物线与的“郡园点”，点是抛物线上一动点，问在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线的顶点为，对称轴为直线，且经过点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连结、，求的面积； （3）点是抛物线对称轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 8．如图，已知：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为顶点，连接，，抛物线的对称轴与轴交于点． （1）求抛物线解析式及点的坐标； （2）G是抛物线上，之间的一点，且，求出点坐标； （3）在抛物线上，之间是否存在一点，过点作，交直线于点，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图，直线y＝3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）． （1）求A、B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图二次函数y=ax2+bx-2的图象交x轴于A(﹣1，0)，B(2，0)两点，交y轴于点C，过A，C两点画直线． （1）求二次函数的解析式； （2）在平面直角坐标系中是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点D的坐标，如果不存在，请说明理由。 （3）若点Q在AC下方的抛物线上运动，求以A、C、Q为顶点的三角形的面积最大值. 11．如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点、分别是一次函数的图象与轴、轴的交点，点在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形. （1）试求、的值，并写出该二