第二部分 专题二 分解因式-【育才学案】2023初升高数学衔接教材

第二部分初中衔接知识拓展专题精讲 专题二 分解因式 专题综述》 因式分解是代数式的一种重要恒等变 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提 形，它是学习分式的基础，又在代数式的运 取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应 算、解方程、函数中有广泛的应用，通过本专 了解求根法及待定系数法。 题的学习，不仅能使学生掌握因式分解的概 初高中课程标准对本专题内容要求的 念和原理，而且又为继续学习因式分解做好 区别 了充分的准备. 1.大大弱化了十字相乘法的学 因此，它起到了初、高中承上启下的 习.一般只接触过二次项系数 作用 为1的十字相乘法。 分组分解法在初中数学中的应用：分式 《初中课 2.初中重点学习了提取公因式 的约分与通分、解一元二次方程、分式方程； 程要求》 法、公式法，针对a.x2+bx十c 在高中数学中的应用更加广泛：如无理方程、 (a≠0)的因式分解，只学习了 特殊的高次方程，解一元二次不等式及三角 二次项系数为1的因式分解 函数式的恒等变形，不等式证明，因此，学好 因式分解对于代数知识的后续学习，具有相 1.有大量二次项系数不为1的十 当重要的意义，代数方面在数学计算、化简、 字相乘法，会拆分多项式，用十 证明题中的应用较多，在几何学中同样有 字相乘法因式分解。 应用 2.对于项数比较多的多项式，要综 用十字相乘法分解因式，首先分解二次 《高中课 合使用提取公因式法、分组分解 项系数、常数项，然后交叉相乘再相加，看是 程要求》 法、十字相乘法、公式法来进行 否为一次项系数，还要注意避免出现以下两 因式分解，还会接触到拆项法、 种错误：一是没有认真地验证交叉相乘的两 添项法等.针对ax2十bx十c(a≠ 个积的和是否等于一次项系数；二是由十字 0)的因式分解要用公式法或十 相乘法写出的因式漏写字母. 字相乘法因式分解。 《知识对接》 对接点一十字相乘法 则p、9同号（若c<0,则p、9异号），然后依 必鱼知迟》 据一次项系数b的正负再确定p、q的符号； (2)若x2+bx+c中的b、c为整数时，要先 1.十字相乘法 将c分解成两个整数的积（要考虑到分解的 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式 各种可能)，然后看这两个整数之和能否等 分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次 于b,直到凑对为止. 三项式2+bx十c,若存在 pq=c ,则x2十 2.首项系数不为1的十字相乘法 p+q= 在二次三项式a.x2十b.x十c(a≠0)中，如果 bx+c=(x+p)(x+g). 二次项系数a可以分解成两个因数之积， 要点诠释：(1)在对x2十bx十c分解因式时， 即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数 要先从常数项c的正、负入手，若c>0, 之积，即c=cc2,把a1,a2c1c2排列如下： ·11 初升高衔接教材·数学 (2)(x2-6)2-2(x2-6)-3 =(x2-6+1)(x2-6-3) =(x2-5)(.x2-9) acz+aC =(x2-5)(x+3)(x-3). 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2十a2c1, 或(x2-6)2-2(.x2-6)-3 若它正好等于二次三项式a.x2十bx十c的一 =(x2-6)2-2(x2-6)+1-1-3 次项系数b,即a1c2十a2c=b,那么二次三 =(x2-6-1)2-4 项式就可以分解为两个因式a1x十c1与 =(x2-7)2-4 a2x十c2之积，即a.x2+bx+c=(a1x+c1) =(.x2-7+2)(x2-7-2) (a2x+c2）. =(x2-5)(.x2-9) 要点诠释：(1)分解思路为“看两端，凑中间”： =(x2-5)(x十3)(x-3). (2)二次项系数a一般都化为正数，如果是 变式训练》 负数，则提出负号，分解括号。 阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2 里面的二次三项式，最后结果不要忘记把 +(m十n)x+mn的多项式，其常数项是两 提出的负号添上， 个因数的积，而它的一次项系数恰是这两 典例精析》 个因数的和，则我们可以把它分解成x2十 阅读与思考：将式子x2一6.x十8分解因式. (m+n)x十mn=(x十m)(x+n). 法一：整式乘法与因式分解是方向相反的 例如：x2+5x+6=x2+(2十3).x+2×3 变形. (x+2)(x+3). 由x2+(p十q)x+pg=(x+p)(x+q)得(x 运用上述方法分解因式： +)(x+q)=x2+(p+q)x+g, (1)x2+6.x+8: 分析：这个式子的常数项8=（一2）×（一4）， (2)x2-x-6: 一次项系数一6=（一2）十（一4）， (3)x2-5xy+6y2: 所以x2-6x十8=x2+[(-2)+(-4)]x+ (4)请你结合上述的方法，对多项式x3一 (-2)×(-