第二部分 专题八 圆-【育才学案】2023初升高数学衔接教材

第二部分初中衔接知识拓展专题精讲 专题八圆 《专题综述》 平面几何中直线与圆的位置关系包含的 (5)割线定理：从圆外一点引圆的两条割 知识点较多，方法灵活，抓住核心概念和基本 线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线 方法即可，对定理的本质要理解，看到相关已 段长的积相等. 知能够联想到需要的定理，常常先分析所求 初高中课程标准对本专题内容要求的区别 问题的路径，找准方向，综合运用条件加以 突破. 1.圆的基本性质 直线与圆有三种位置关系：相离、相切和 2.垂径定理. 相交.相切和相交是代数与几何研究的重点. 《初中课 3.点与圆的位置关系. 常用的结论包括： 程要求》 4.点、直线与圆的位置关系， (1)切线的判定定理：经过半径的外端并 5.正多边形与圆、弧长、扇形 且垂直于这条半径的直线是圆的切线 面积. (2)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧 所对的圆周角. 1.握圆的标准方程与一般方程. (3)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被 2.能判断直线与圆、圆与圆的位 《高中课 交点分成的两条线段长的积相等， 置关系。 程要求》 (4)切割线定理：从圆外一点引圆的切线 3.能用直线和圆的方程解决一些 和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两 简单的问题。 条线段长的比例中项。 知识对接 》 对接点一直线与圆的位置关系 必备知识》 设有直线1和圆心为O且半径为r的圆，怎 样判断直线（和圆O的位置关系？ 图2 在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、 B.若直线经过圆心，则AB为直径：若直线 0 0 不经过圆心，如图2，连结圆心O和弦AB 的中点M的线段OM垂直于这条弦AB. B 且在Rt△OMA中，OA为圆的半径r,OM 图1 为圆心到直线的距离d,MA为弦长AB的 观察图1，不难发现直线与圆的位置关系 为：当圆心到直线的距离d>r时，直线和 一半，根据勾股定理，有户-P=(): 圆相离，如圆O与直线1：当圆心到直线的 距离d=r时，直线和圆相切，如圆O与直 线l2;当圆心到直线的距离d<r时，直线 和圆相交，如圆O与直线13. 图3 ·39· 初升高衔接教材·数学 当直线与圆相切时，如图3，PA,PB为圆O 设过点D,E的直线解析式为：y=kx十b, 的切线，可得PA=PB,OA⊥PA且在 D(-2,-2),F(-6,0), Rt△POA中，PO2=PA2+OA2 2k+b=-2 如图4，PT为圆O的切线，PAB为圆O的 ,解得： k1 2， 一6k+b=0 割线，我们可以证得△PAT∽△PTB,因而 b=-3 PT2=PA·PB. ·直线DE解析式为：y=一 2x-3. x=0时，y=一3， .E(0,-3). 变式训练》 在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点 图4 给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中 典例精極》 的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最 在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1,1), 大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的 B(-3,-1),C(-3,1),D(-2.-2). P、Q两点即为“等距点” 5 4 2 54-3-2-1012345 2m (1)已知点A的坐标为(-3,1) ①在点E(0,3)、F(3,-3)、G(2,一5)中，点 (1)画出△ABC的外接圆⊙P,并指出点D A的“等距点”是 ； 与⊙P相的位置关系； ②若点B在直线y=x十6上，且A、B两点 (2)E点是y轴上的一点，若直线DE与 为“等距点”，则点B的坐标为 ⊙P相切，求点E的坐标. (2)直线l:y=k.x-3(k>0)与x轴交于点 解：(1)如图所示： C,与y轴交于点D. ①若T1(-1,t1)、T2(4,t2)是直线1上的两 点，且T1、T2为“等距点”，求k的值： ②当k=1时，半径为r的⊙O上存在一点 M,线段CD上存在一点N,使得M、N两 20 123 点为“等距点”，直接写出r的取值范围. D △ABC外接圆的圆心为（一1,0），点D在 ⊙P上； (2)连接PD, 直线DE与⊙P相切， ∴.PD⊥DE, 利用网格过，点D做直线的DF⊥PD, 则F(一6,0)， ·40· 第二部分初中衔接知识拓展专题精讲 对接点二 点的轨迹 Y 必备知识》 在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件 C 运动形成的图形，它是符合某个条件的所 10 有点组成的.例如，把长度为r的线段的一 个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转 一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点 (1)请在图中画出△A'B'C,并写出点A'的 到定点的距离都等于r;同时，到定点的距离 等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做 坐标； (2)求旋转过程中A点的轨迹长， 到定点的距离等于定长r的点的轨迹 解：(1)如图所示，△A'B′C即为所求 我们把符合某一条件的所有的