第二部分 专题四 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质-【育才学案】2023初升高数学衔接教材

初升高衔接教材·数学 10.阅读如下材料，完成下列问题： (3)若实数m,n满足m2-n2一6m十12n= 材料一：对于二次三项式求最值问题，有 27.求/n2-3m2的最大值. 如下示例： x2-2x+3=x2-2.x+12-12+3=(x- 1)2+2.因为(x-1)2≥0，所以(x-1)2+ 2≥2，所以，当x=1时，原式的最小值 为2. 材料二：对于实数a,b,若a>b>0,则0< 1<1 ab 完成问题： (1)求x2一4x一1的最小值： (2)求2x-8+13的最大值： x2-4x+6 专题四 二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 《专题综述》 确定二次函数的图象，主要应抓住：抛物 数图象的某些特征（开口方向、顶点坐标、对 线的开口方向、顶点位置、对称轴以及与两坐 称轴、最值)等：再比如待定系数法，通过解方 标轴的交点.解决二次函数的问题，通常利用 程组的形式来求二次函数的解析式. 配方法和数形结合思想求解，先画出二次函 高中的函数立足于集合观点，对二次函 数的图象，根据题中所给的区间观察函数的 数的学习要求明显提高，二次函数的研究更 单调区间，再利用函数的单调区间研究最值 侧重于数形结合、分类讨论等思想方法， 等问题 初高中课程标准对本专题内容要求的区别 二次函数是初中数学的一个重要内容， 是中考重点考查的内容，也是高考必考内容， 《初中课 熟悉二次函数的定义和解析式， 程要求》 掌握二次函数的图象画法， 同时还是一个研究函数性质的很好的载体， 因此做好二次函数的初高中衔接至关重要， 掌握二次函数在一个闭区间上的 初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代 《高中课 最值求法，会求二次函数的解析 数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函 程要求》 式，会通过图象分析性质 知识对接》 对接点一二次函数图象的伸缩变换 系，推导出函数y=ax2与y=x2的图象之 间所存在的关系。 必备知识》 先画出函数y=x2,y=2.x2的图象. 问题函数y=ax2与y=x2的图象之间 先列表： 存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y 9 2x2y=22,y=-2x2的图象，通过这些 18 18 函数图象与函数y=x2的图象之间的关 ·18· 第二部分初中衔接知识拓展专题精讲 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把 C由图象可得， 相应的x2的值扩大两倍就可以了. a>0,b>0,c<0, .abc<0,故①错误， 当x=1时，y=a十b十c=2,故②正确， 当x=-1时，y=a-b十c<0, 由a十b+c=2得，a十c=2-b, 则a一b十c=(a十c)一b=2-b一b<0,得b >1,故④正确， 再描点、连线，就分别得到了函数y=x2,y >-1>0，a>号>故 =2x2的图象（如图所示），从上图我们可以 正确 得到这两个函数图象之间的关系：函数y= 变式训练》 2x2的图象可以由函数y=x2的图象各点 下列说法错误的是 的纵坐标变为原来的两倍得到， A.二次函数y=一2x2中，当x=0时，y有 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 最大值是0 y=22y=一2x2的图象，并研究这两个函 B.二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x 数图象与函数y=x的图象之间的关系。 的增大而增大 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： C.在三条抛物线y=2.x2,y=-0.5.x2,y= 二次函数y=ax2(a≠0)的图象可以由y= 一x2中，y=2x2的图象开口最大，y= x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得 一x2的图象开口最小 到.在二次函数y=a.x2(a≠0)中，当a>0 D.不论a是正数还是负数，抛物线y=a.x 时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开 口向下. (a≠0)的顶点一定是坐标原点 典例精析》 对接点二二次函数图象的平移变换 二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象如 必备知识》 图所示，有下列结论：①abc>0;②a十b十c 函数y=a(x十h)2十k与y=ax2的图象之 =2:③a>7:④6>1，其中正确的结论个数 间存在怎样的关系？ 是 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图 象之间的关系来研究它们之间的关系.同 学们可以作出函数y=2(x十1)2十1与y= 2x2的图象（如图所示），从函数的图象我们 不难发现，只要把函数y=2.x2的图象向左 平移一个单位，再向上平移一个单位，就可 以得到函数y=2(x十1)2十1的图象.这两 A.1个 B.2个 个函数图象之间具有“形状相同，位置不 C.3个 D.4个 同”的特点. ·19 初升高衔接教材·数学 y (2)当a<0时，函数y=ax2十bx十c图象开 y=2(x+1P+1 口向下；顶点坐标为（一 b Aac-b 2a'Aa ),对