第二部分 专题五 方程与不等式-【育才学案】2023初升高数学衔接教材

第二部分初中衔接知识拓展专题精讲 专题五 方程与不等式 《专题综述》 一元二次不等式的解法是初中阶段一元 (3)利用图象开口与零点画出对应函数的 一次不等式或一元一次不等式组的延续和深 草图： 化，也与后面的线性规划、直线与圆锥曲线以 (4)观察草图，得出不等式所对应的 及导数等内容密切相关，许多问题的解决都 解集。 会借助一元二次不等式的解法.一元二次不 初高中课程标准对本专题内容要求的 等式的解法在整个高中数学中具有很强的基 区别 础性和工具性。 一元二次不等式、二次函数与一元二次 1.了解一元二次不等式的概念， 方程三者之间有着密切联系，理解并掌握利 会解一些简单的一元二次不 用二次函数的图象确定一元二次不等式解集 等式，如二次项系数为1的一 的方法即图象法，其本质就是要能利用数形 《初中课 元二次不等式 结合的思想方法认识方程的解，不等式的解 程要求》 2.熟悉一元二次方程的求根公 集与函数图象上对应点的横坐标的内在 式，初步认识一元二次方程与 联系. 二次函数的关系，但对根的分 二次函数图象是连接三个“二次”的纽 布情况没有深入了解， 带，是理解和解决问题的关键，要深入理解三 者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等 1.熟练各种一元二次不等式的解 式的思想和方法.一元二次不等式的解题 法，并熟记解题技巧，会解含参 步骤： 数的一元二次不等式 (1)将含x的式子用y来表示，构建一个 《高中课 2.理解一元二次方程根的各种分 二次函数； 程要求》 布情况，能找出每种分布情况 (2)令这个函数中的y=0,构建一个一元 的等价条件并求解：掌握利用 二次函数的图象来解决根的分 二次方程，求出对应方程的解，即找到图中的 关键点—函数的零点； 布问题 《 知识对接 对接点一二元二次方程组的解法 我们看下面的两个方程组： 必备知识》 x2-4y2+x+3y-1=0, 2x-y-1=0: 方程x2+2xy十y2+x十y十6=0 x2+y2=20, 是一个含有两个未知数，并且含有未知数 x2-5.xy+6y2=0. 的项的最高次数是2的整式方程，这样的 第一个方程组是由一个二元二次方程和一 方程叫做二元二次方程.其中x2,2xy,y 个二元一次方程组成的，第二个方程组是 叫做这个方程的二次项，x,y叫做一次项，6 由两个二元二次方程组成的，像这样的方 叫做常数项 程组叫做二元二次方程组. ·23· 初升高衔接教材·数学 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和 对应的一元二次不等式a.x2+bx十c>0(a 一个二元一次方程组成的方程组的解法， >0)与a.x2+b.x十c<0(a>0)的解. 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成 的方程组一般可以用代入消元法来解。 典例精析》 x2+2y2-6=0 已知方程组 有两组相等的 y=ma+3 实数解，求m的值，并求出此时方程组 的解。 (x2+2y2-6=0① 解： y=m.x十3② 把②代入①后计算得(2m2+1).x2+12m.x +12=0, 0 ,方程组有两组相等的实数解， ⊙ ∴.△=(12m)2-4(2m2+1)·12=0, (1)当△>0时，抛物线y=a.x2十b.x十c(a> 解得：m=士1， 0)与x轴有两个公共点(.x1,0)和(x2,0), x=-2 当m=1时，解得 方程a.x2+b.x+c=0有两个不相等的实数 y=1 根x1和x2(x1<x2),由图①可知 x=2 当m=一1时，解得 不等式a.x2十bx十c>0的解为x<x1,或x y=1 >x2; 变式训练》 不等式a,x2十b.x十c<0的解为x1<x<x2 x2-xy-2y2=0, 解方程组： (2)当△=0时，抛物线y=a.x2十bx十c(a> x2+2xy+y2=1, 0)与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2+ bx十c=0有两个相等的实数根x1=x2= 2a,由图②可知不等式ax2+hx十c>0 的解为x≠ 品不等式ar2+r十c<0 对接点二一元二次不等式的解法 无解。 必备知迟》 (3)如果△<0，抛物线y=a.x2十b.x十c(a> 0)与x轴没有公共点，方程a.x2+bx十c=0 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a >0时的一元二次不等式的解. 没有实数根，由图③可知不等式a.x2+bx十 我们知道，对于一元二次方程a.x2+bx+c c>0的解为一切实数： =0(a>0),设△=b2-4ac,它的解的情形 不等式a.x2+b.x+c<0无解， 按照△>0，△=0，△<0分别为下列三种情 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二 况一有两个不相等的实数解、有两个相 次项系数大于零，可以利用上面的结论直 等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线 接求解：如果二次项系数小于零，则可以先 y=