第二部分 专题三 一元二次方程-【育才学案】2023初升高数学衔接教材

第二部分初中衔接知识拓展专题精讲 专题三 一元二次方程 《专题综述 》 1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在 4.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元 求根公式的基础上进行.它深化了两根的 二次方程，则可写出该方程的两根之和的 和与积同系数之间的关系，是我们今后继 值及两根之积的值.而其逆定理的功能是： 续研究一元二次方程根的情况的主要工 若已知一元二次方程的两个根，可写出这 具，必须熟记，为高中阶段的使用打下 个方程. 基础。 初高中课程标准对本专题内容要求的区别 2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推 能熟练利用一元二次方程根的判 导，向我们展示了认识事物的一般规律，提 《初中课 别式去判断根的个数，简单地介 倡积极思维，勇于探索，锻炼我们分析、观 程要求》 绍了韦达定理。 察、归纳的能力及推理论证的能力 3.一元二次方程的根与系数的关系，中考考 熟练掌握求根公式求根和对含参 《高中课 查的频率较高，高考也常与儿何、二次函数 数判别式的处理能力，会灵活使 程要求》 等问题结合考查，是考试的热点，它是方程 用韦达定理解决各种问题. 理论的重要组成部分 知识对接》 对接点一 根的判别式 由此可知，一元二次方程a.x2十bx十c=0(a ≠0)的根的情况可以由b2一4ac来判定，我 必备知识》 们把b2-4ac叫做一元二次方程a.x2+bx 我们知道，对于一元二次方程a.x2十bx十c =0(a≠0)，用配方法可以将其变形为 十c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符号 (+}-0 “△”来表示. 4a2 综上所述，对于一元二次方程ax2十bx十c 因为a≠0，所以，4a2>0.于是 =0(a≠0)，有 (1)当b2-4a>0时，方程①的右端是一个 (1)当△>0时，方程有两个不相等的实 正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 数根 -b±√/b2-4ac 1,2= 2a x1,2= -b±√62-4ac 2a (2)当b2一4ac=0时，方程①的右端为零， (2)当△=0时，方程有两个相等的实数根 因此，原方程有两个相等的实数根 x1=x2= 6 x1=x2=-2 2a (3)当△<0时，方程没有实数根。 (3)当b2一4ac<0时，方程①的右端是一个 典例精析》 负数，而方程①的左边(+光) 一定大于 关于x的一元二次方程x2一(m-1)x+2m 或等于零，因此，原方程没有实数根。 -1=0,其根的判别式为16，求m的值. ·15· 初升高衔接教材·数学 解：由题意得， 所以，方程x2十px十g=0可化为x2-(x 4=[-(m-1)]2-4(2m-1)=16, 十x2)x十x1·x2=0,由于.x1x2是一元二 整理得，m2-10m-11=0, 次方程x2十px十q=0的两根，所以，x1,x2 解得：m1=11,m2=一1. 也是一元二次方程x2一(x1十x2)x十x1· 变式训练》 x2=0两根 已知关于x的一元二次方程mx2一(m十2) 典例精斱》 x+2=0 如果关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0 (1)若方程的一个根为3，求m的值及另一 (a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个 个根： 根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程” (2)若该方程根的判别式的值等于1，求m (1)请问一元二次方程x2-6x十8=0是倍 的值 根方程吗？如果是，请说明理由； (2)若一元二次方程x2+bx十c=0是倍根 方程，且方程有一个根为2，求b、c的值. 解：(1)该方程是倍根方程，理由如下： x2-6.x十8=0，解得x1=2,x2=4, ∴x2=2.x1 ∴.一元二次方程x2一6.x+8=0是倍根 对接点二 根与系数的关系（韦达定理） 方程； 必备知识》 (2),'方程x2十bx十c=0是倍根方程，且方 若一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有 程有一个根为2， 两个实数根 .方程的另一个根是1或4， t1=-b+vb2-4ac 当方程根为1,2时，一b=1十2，解得b=一3，c 2a x2= -b-√02-4ac 2a =1×2=2: 则有西十=一bhyF-ac+-bB-G 当方程根为2,4时一b=2十4，解得b=一6，G 2a 2a =2×4=8. -26b 变式训练》 2a 已知关于x的一元二次方程x2+(2m十3) 1=btvi-4ac.-b-Aac x+m2=0有两根a,3 2a 2a (1)求m的取值范围： b2-(62-4ac)4acc (2)若a十3十a3=0.求m的值. 4a2 4a2 a 所以，一元二次方程的根与系数之间存在 下列关系： 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1x2,那么1十x2= 山·=后这 b 一关系也被称为韦达定理， 特别地，对于二次项系数为1的一元二