第二部分 专题七 三角形-【育才学案】2023初升高数学衔接教材

第二部分初中衔接知识拓展专题精讲 专题七」 三角形 《专题综述 三角形的“四心”有着明显的几何特征， 角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂 这些几何特征与高中很多知识都有交汇，所 心在三角形外，该点分每条高线的两部分 以要熟练掌握它们的概念，理解对应的几何 乘积相等； 意义，为高中“四心”知识的综合奠定基础 重心：三角形的三条中线的交点，该点到顶 1.四心的地位 点的距离为到对边中点距离的2倍： 所谓三角形的“四心”，是指三角形的四种 外心：三角形的三条边的垂直平分线的交 重要线段相交而成的四类特殊点.它们分 点，该交点为三角形外接圆的圆心，外心到 别是三角形的内心、外心、垂心与重心，其 三个顶点的距离相等. 中，外心与内心在初中课本中分别作出了 四心在高中阶段具有代数与几何的双重身 叙述和介绍，而垂心与重心这两个概念是 份，需要给这四心的几何特征以代数形式， 在高中加强的.在高中后续学习向量、立体 数形结合，以形助数，以数解形 几何、解析几何等内容时，垂心、重心、内 初高中课程标准对本专题内容要求的区别 心、外心都是不可缺少的知识点，在高考试卷 L.三角形及其性质. 中也屡屡出现，所以要清楚它们的基本概念， 《初中课 2.全等三角形 在三角形中用尺规作图的方法能够找到这四 程要求》 3.相似三角形. 心，也就是要熟悉它们的几何特征，正三角形 4.直角三角形， 四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为 正三角形的中心 1.三角变换与解三角形的综合 2.四心的概念与常用性质 问题 内心：三角形的三个内角的角平分线的交 《高中课 2.解三角形与平面向量结合. 点，该点为三角形内切圆的圆心，内心到三 程要求》 3.以平面图形为背景的解三角形 角形的三边的距离相等； 问题。 垂心：三角形的三条高的交点：通过作图可 知锐角三角形的垂心在三角形内，直角三 知识对接 对接点一三角形的“四心” 必备知识》 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复 杂的图形问题可以化归为三角形的问题， 图3 如图1，在三角形△ABC中，有三条边AB, BC,CA,三个角∠A,∠B,∠C,三个顶点 A,B,C,在三角形中，角平分线、中线、高 图1 图2 (如图2)是三角形中的三种重要线段， ·33· 初升高衔接教材·数学 三角形的三条中线相交于一点，这个交点 ∴.∠PCO=∠PAO=90. 称为三角形的重心，三角形的重心在三角 ∴.PC⊥OC. 形的内部，恰好是每条中线的三等分点， .PC是⊙O的切线. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三 (2)①作CM⊥AP于点M, 角形的内心.三角形的内心在三角形的内 ,CD⊥AB, 部，它到三角形的三边的距离相等。 ∴.CE=DE=√3，∠CEA=90. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该 .四边形CMAE是矩形. 点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心 ∴AM=5. 一定在三角形的内部，直角三角形的垂心 ..PM=AM. 为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三 ∴.PC=AC. 角形的外部. .PC=PA, 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆， ∴.△PCA是等边三角形. 该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三 ∴.∠PAC=60°. 角形的外心.三角形的外心到三个顶点的 .∠CAB=30. 距离相等，是各边的垂直平分线的交点， ∴.∠COE=60°. 典例精析》 ∴.∠C0D=120 如图，在⊙O中， 在Rt△COE中， AB是直径，PA 与⊙O相切于点 血60-浸 A,点C在⊙O ∴.OC=2. 上，且PC=PA, 4 (1)求证PC是 S影=3不一3. ⊙O的切线： ②：AP=2√5，AM=CE=√3 (2)过点C作CD⊥AB于点E,交⊙O于点 .CM=√3AM=3 D,若CD=PA=23, 又I为正△PAC的内心 ①求图中阴影部分面积； ②连接AC,若△PAC的内切圆圆心为I, .c1=号cM=2 则线段IE的长为 ∴.IE=√CE2+CI2=√3+4=√7 解：(1)证明：连接 变式训练》 OC、OP, 已知菱形ABCD的边长为2.∠ADC= 点C在⊙0上， 60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于 .OC为半径， 点E、F. ,PA与⊙O相切 于点A, .OA⊥PA. ∴.∠PAO=90°. .OC=OA, OP=OP, PC=PA. ..△PCO≌△PAO. ·34· 第二部分初中衔接知识拓展专题精讲 (1)特殊发现：如图①，若点E、F分别是边 问题解决：如果△ABC的边长等于2√3， DC、CB的中点.求证：菱形ABCD对角线 AD=2,直接写出当△ADE旋转到DE与 AC,BD交点O即为等边△AEF的外心： AC所在的直线垂直时BD的长， (2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移 动.记等