第5讲 公因数和最大公因数 2023-2024学年沪教版五升六年级暑假班讲义

第五讲 公因数和最大公因数 知识点一 公因数与最大公因数的概念 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，称为这几个数的最大公因数. 【例题】 1.求下列各组数的最大公因数∶ （1）17和51; （2）23和 32. 知识点二 互素 如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素. 注意：（1）互素是指两个数之间的关系，与素数没有互为因果的联系，在以下情况可以直接判断两个数是互素;①两个不同的素数是互素;②1 和任何正整数是互素;③两个相邻的正整数是互素;④一个素数和一个合数，目没有倍数关系，它们是互素. （2）素数、素因数和互素的区别： 当一个数除了1和本身以外没有别的因数时称这个数为素数. 而两个数互素是指两数之间的关系，当两 因数 1 时，称这两个数为互素，当一个数的因数是素数时，称这个因数是这个数的素因数. 【例题】 1.下面哪一组中的两个数互素？ （1）9和12； （2）27和28； （3）7和22； （4）11和19． 【举一反三】 1.10的因数中，两两互素的有（ ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2.下列说法中正确的是（ ） A．合数都是偶数 B．两个不同的素数一定互素 C．偶数不会是素数 D．整数分为合数和素数 3.40和56的公因数有________________，最大公因数为________________． 知识点三 求最大公因数的方法 （1）列举法：分别列出两个数的因数，从公因数中找出它们的最大公因数。 （2）分解素因数法：把两个数分解素因数，最大公因数就是它们公有素因数的乘积， （3）短除法：用两个数的公因数去除，除到商是互素为止，所有除数的乘积就是这两个数的最大公因数 （4）特征法：如果两个数是互素，它们的最大公因数是 1. 如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数 【例题】 1.（1）用三种不同的方法求24和60的最大公因数． （2）求下列各组数的最大公因数． （1）6、18和30 （2）14、56和98 2.（1）如果两个数互素，那么它们的最大公因数是（ ） A．较大数 B．较小数 C．1 D．它们的乘积 （2）甲数是乙数的15倍，这两个数的最大公因数是（ ） A．15 B．甲数 C．乙数 D．甲数×乙数 （3）如果，，则M和N的最大公因数为____________． （4）一个自然数的最小倍数和最大因数都是12，这个数是________，这个数和18的公因数有__________，最大的公因数是_____________． 【举一反三】 1.两个数的最大公因数是10，那么这两个数的公因数一定有（ ） A．1 B．2 C．5 D．以上都对 2.a是b的3倍（b不为0），a和b的最大公因数是（ ） A．a B．b C．3 D．无法确定 3.—间长方形的房屋装修时用正方形的地砖正好铺满，那么这间房屋的长和宽都应该是正方形边长的倍数，正方形地砖的边长应该是长方形的长和宽的（ ） A．公因数 B．最大公因数 C．公倍数 D．最小公倍数 4.下列各组数中，不是互素的是( ) A．1和23 B．13和33 C．22和143 D．91和158 5.两个数之和为90，且它们的最大公因数为15，则这两个数为_________，_________． 6.，，那么A和B的最大公因数是____________． 7.判断正误：（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）两个不同的素数一定互素．（________） （2）3和4的公因数只有1，所以3和4互素．（________） （3）如果两个数是合数，那么这两个数就不互素．（________） （4）2和任何一个奇数都互素．（________） 8.根据短除法计算并填空： ____________，____________；A和B的最大公因数是____________． 9.用短除法求下列各组数的最大公因数． （1）48和72 （2）14、42和56 【课堂练习】 1．a、b是相邻的两个偶数（a、b均不为0），a和b的最大公因数是（ ） A．ab B．2 C．a+b D． 2．几个数的最大公因数是12，这些数的全部公因数是（ ） A．1、2、3、12 B．2、3、4、6 C．2、3、4、6、12 D．1、2、3、4、6、12 3．一个自然数分别去除68、120、172，所得的余数均为3，则这个自然数是（ ） A．5 B．7