精品解析：上海交通大学附属中学2023届高三下学期卓越考（二）数学试题

交大附中2022学年第二学期高三年级数学卓越考（二） 2023.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若，，则是的______条件． 2. 若是纯虚数，则值为__________． 3. 已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）为______函数．（填奇偶性） 4. 若双曲线经过点，且渐近线方程是y＝±x，则双曲线的方程是________． 5. 已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①的元素不都是的元素； ②的元素都不是的元素； ③中有的元素； ④ 存在，使得； 其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）. 6. 一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用X表示取出的3个球中最大编号，则______． 7. 函数的部分图象如图所示，则____. 8. 如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为______． 9. 已知某产品的一类部件由供应商A和B提供，占比分别为和，供应商A提供的该部件的良品率为，供应商B提供的该部件的良品率为．若发现某件部件不是良品，那么这个部件来自供应商B的概率为______（用分数作答） 10. 已知，函数，的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的值是______． 11. 如图，椭圆的中心在原点，长轴在x轴上．以、为焦点的双曲线交椭圆于C、D、、四点，且．椭圆的一条弦AC交双曲线于E，设，当时，双曲线的离心率的取值范围为______． 12. 将关于x方程（t为实常数，）在区间上的解从小到大依次记为，设数列的前n项和为，若，则t的取值范围是______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分） 13. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知平面，，直线，若，，则 A. 垂直于平面的平面一定平行于平面 B. 垂直于直线的直线一定垂直于平面 C. 垂直于平面的平面一定平行于直线 D. 垂直于直线平面一定与平面,都垂直 15. 已知抛物线上一点到其焦点距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数是定义域在R上的奇函数，且当时，，则关于在R上零点的说法正确的是（ ） A. 有4个零点，其中只有一个零点在内 B. 有4个零点，其中只有一个零点在内，两个在内 C. 有5个零点，都不在内 D. 有5个零点，其中只有一个零点在内，一个在 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17. 2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了7个月的月广告投入x（单位：万元）与月销量y（单位：万件）的数据如表所示： 月广告投入x/万元 1 2 3 4 5 6 7 月销量y/万件 28 32 35 45 49 52 60 （1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明，并求y关于x的线性回归方程； （2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件．（本题结果均按四舍五入精确到小数点后两位） 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， 平面是的中点. （1）求证: 平面； （2）试在线段上确定一点,使平面,并求三棱锥的体积. 19. 甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为a元． （1）把全部运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 20. 已知是平面内的两个定点，且，动点到点的距离是10，线段的垂直平分线交于点，若以所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系. （1）试求点的轨迹的方程; （2）直线与点所在曲线交于弦，当变化时，试求的面积的最大值. 21. 已知为正整数，对于给定的函数，定义