广东省广州市铁一中学2023届高三上学期10月月考数学试题

2022—2023学年上学期铁一中学高三年级10月月考 高三数学 本试卷共22小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 31 B. 32 C. 15 D. 16 3. 已知等比数列的各项均为正数，且，则的最大值为（ ） A. 9 B. 8 C. 3 D. 27 4. 已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 已知均为不等于1正实数，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 中，若，则 值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 已知，为锐角，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，则n次传球后球在甲手中的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9. 若非零复数、分别对应复平面内的向量、，且，线段的中点对应的复数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立 11. 已知函数的定义域和值域同为，则下列四个结论中一定正确的是（ ） A B. C. D. 12. 如图，，是双曲线：与椭圆公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则离心率为 D. 若，则的方程为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知抛物线的准线交轴于点，过点作斜率为的直线交于两点，且，则直线的斜率是__________. 14. 在某市举行的唱歌比赛中，5名专业人士和5名观众代表组成一个评委小组，给参赛选手打分．这10个分数的平均分为8分，方差为12．若去掉一个最高分10分和一个最低分6分，则剩下的8个分数的方差为__________． 15. 在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是___________. 16. 已知函数，当时，，则m的取值范围为________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 记内角的对边为，已知于. （1）证明：； （2）若，求的值. 18. 已知数列，满足． （1）若是等差数列，，，求数列的前项和； （2）若是各项均为正数且公比为的等比数列，是否存在实数，使为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，在三棱锥中，底面分别为的中点，点都在棱上，，且满足平面. （1）求的长； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 20. 电影院统计了某电影上映高峰后连续10场的观众人数，其中每场观众人数y（单位：百人）与场次x的统计数据如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 通过散点图可以发现与之间具有相关性，且满足经验关系式：，设. （1）利用与的相关性及表格中的前8组数据求出与之间的回归方程（结果保留两位小数）； （2）如果每场观众人数超过1.2（百人），称为“满场”.从表格中的10组数据中随机选出8组，设表示“满场”的数据组数，求的分布列及数学期望. 附：.前8组数据的相关量及公式：，对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 21. 双曲线的左、右焦点分别为，，焦距等于8，点M在双曲线C上，且，的面积为12. （1）求双曲线C的方程； （2）双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过的斜率不为的直线l与双曲线C交于P，Q两点，连接AQ，BP，求证：直线AQ与BP的交点恒在一条定直线上. 22. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明． 2022—2023学年上学期铁一中学高三年级10月月考 高三数学 本试卷共22小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单