2.4 曲线与方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评作业与测评word（人教B版2019）

2．4　曲线与方程 知识点一　曲线的方程与方程的曲线 1．如果曲线C上的任意一点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，那么下列命题正确的是(　　) A．曲线C的方程是F(x，y)＝0 B．曲线C上的点都在方程F(x，y)＝0的曲线上 C．方程F(x，y)＝0的曲线是C D．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 答案　B 解析　设所有在曲线C上的点构成集合A，所有以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点构成集合B，则原题等价于A⊆B.对于A，等价于A＝B，不正确；对于B，等价于A⊆B，正确；对于C，等价于A＝B，不正确；对于D，等价于A⊇B，不正确．故选B. 2．[多选]下列命题中为真命题的是(　　) A．点A(3，2)，点B(3，6)，则线段AB的方程是x＝3 B．到x轴距离为2的点的轨迹方程是y＝±2 C．方程y＝kx＋1表示过(0，1)的所有直线 D．方程xy＝1和方程y＝表示相同的曲线 答案　BD 解析　A错误，因为方程x＝3是直线AB的方程，线段AB的方程应是x＝3(2≤y≤6)；C错误，方程y＝kx＋1不能表示过(0，1)且斜率不存在的直线；B，D正确．故选BD. 3．如图，方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是(　　) 答案　B 解析　x＋|y－1|＝0，当y≥1时，x＋y－1＝0；当y<1时，x＋1－y＝0，画出符合题意的曲线，为B.故选B. 4．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是(　　) A．直线2x－y＝0 B．直线2x＋y＋3＝0 C．直线2x－y＝0和直线2x＋y＋3＝0 D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝0 答案　C 解析　∵4x2－y2＋6x－3y＝(2x＋y)(2x－y)＋3(2x－y)＝(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，∴原方程表示直线2x－y＝0和直线2x＋y＋3＝0. 知识点二　求曲线的方程与根据方程研究曲线的性质 5．与点A(－1，0)和点B(1，0)连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝3 B．x2＋2xy＝1(x≠±1) C．y＝ D．x2＋y2＝9(x≠0) 答案　B 解析　设P(x，y)，∵kPA＋kPB＝－1，∴＋＝－1，整理得x2＋2xy＝1(x≠±1)． 6．(2023·福建福州第一中学期末)已知曲线C的方程为x2＋y2＋|x|y＝2023，则曲线C关于________对称．(　　) A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x 答案　B 解析　曲线C的方程为x2＋y2＋|x|y＝2023，将x换为－x，y不变，原方程化为x2＋y2＋|x|y＝2023，所以曲线C关于y轴对称；将y换为－y，x不变，原方程化为x2＋y2－|x|y＝2023，所以曲线C不关于x轴对称；将x换为－x，y换为－y，原方程化为x2＋y2－|x|y＝2023，所以曲线C不关于原点对称；将x换为y，y换为x，原方程化为x2＋y2＋|y|x＝2023，所以曲线C不关于直线y＝x对称．故选B. 7．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x＋4)2＋(y－1)2＝4 答案　A 解析　设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则可得代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.故选A. 8．平行四边形ABCD的顶点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为(　　) A．3x－y－20＝0 B．3x－y－10＝0 C．3x－y－12＝0 D．3x－y－9＝0 答案　A 解析　设AC，BD交于点O，∵A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，∴O点坐标为，设B点坐标为(x，y)，∴点D的坐标为(5－x，－4－y)，∵D在直线3x－y＋1＝0上，∴15－3x＋4＋y＋1＝0，即3x－y－20＝0.故选A. 9．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为________． 答案　x2＋y2＝4 解析　设P(x，y)，圆x2＋y2＝1的圆心为O，∵∠APB＝60°，OP平分∠APB，∴∠OPB＝30°，∵|OB|＝1，∠OBP为直角，∴|OP|＝2，∴x2＋y2＝4. 10．已知M(－1，0)，N(1，0)两点，点P满足·＝(·＋·)且·－·<0，求点P的轨迹方程． 解　设点P(x，y)．由M(－1，0)，N(1，0)， 得＝－＝(－1－x，－y)， ＝－＝(1－x，－y)，＝－＝(2，0)． 所以·＝2(x＋1)，·＝x2＋y2