22.4 平面向量及其加减运算-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（沪教版）

22.4 平面向量及其加减运算 1．了解向量的实际背景，掌握平面向量相关的概念． 2．掌握向量加减法的运算与数乘的运算并理解其几何意义 1. 平面向量的基本概念与表示 向量的概念 ：我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学中常称为矢量）．而把那些只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等），称为数量（物理学中常称为标量）． 向量的表示 （1）由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，而且不同的点表示不同的数量．对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向． 带有方向的线段叫做有向线段，如下图： 我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以 为起点、 为终点的有向线段记作 ，起点写在终点的前面． 我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作 ，起点写在终点的前面. 相等向量与相反向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．如平行四边形ABCD 中，与就是相等向量，记作 =；与此类似，长度相等但方向相反的向量叫做相反向量，如与就是相反向量，记作=；上面我们提到，接下来研究的向量都是自由向量，因此任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关． 2. 平面向量的加、减法运算 向量的加法： 已知非零向量，，在平面内任取一点A,作，，则向量叫做和记，即。 求两个向量和的运算，叫做向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． 向量加法的平行四边形法则： 以同一点O为起点的两个已知向量为邻边作ABCD，则以O为起点的对角线就是和的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 向量的减法 由相反向量的定义，不难得到如下的结论： （1）由于一个方向反转两次仍回到原来的方向因此向量和互为相反向量，即 （2）任一向量与其相反向量的和是零向量，即 此外，我们规定零向量的相反向量仍然是零向量． 这样我们就可以定义减法的运算了：即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 题型一 平面向量 【例题1-1】下列说法正确的有（  ） ①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任一向量共线；④零向量只能与零向量共线． A．个 B．个 C．个 D．以上都不对 【例题1-2】下列各量中是向量的是（ ） A．时间 B．速度 C．面积 D．长度 【例题1-3】在下列说法中正确的有（ ） ①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量； ②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量； ③方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量 ； ④平面上的数轴都是向量. A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-1】如果点、在线段上，，那么下列结论中正确的是（  ） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 【变式1-2】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，点在平行四边形的边上，，下列结论中正确的是（  ） A．与是相等的向量 B．与是相等的向量 C．与互为相反向量 D．与是平行向量 【同步测试1-1】已知非零向量，，，下列条件中，不能判定向量与向量平行的是（    ） A．∥，∥ B．||＝2|| C．＝2，＝3 D．+2＝ 【同步测试1-2】已知四边形是矩形，点是对角线与的交点.下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【同步测试1-3】在矩形中，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【同步测试1-4】如图，点、在线段上，，那么下列结论中，正确的是（    ） A．与是相等向量 B．与是平行向量 C．与是相反向量 D．与是相等向量 题型二 平面向量加减运算 【例题2-1】化简（ ） A． B． C． D． 【例题2-2】如图是平行四边形，则在向量（ ） A． B． C． D． 【例题2-3】如图，已知向量，那么下列结论正确的是 A． B． C． D． 【例题2-4】化简：（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在梯形中，AD∥BC，向量（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】在梯形中，AB//CD，，E是腰的中点，联结．如果设，那么____________（含、的式子表示） 【变式2-3】化简：＝___． 【变式2-4】如图，已