第31讲 数列的递推式问题（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第31讲 数列的递推式问题 1.推递式求数列通项 (1)构造法：， 要点：变形为(可用待定系数法求)，可得以为公比的等比数列的通项公式，进而可求. (2)赋值法：， 要点：由①，得②， 再①②可得(注意对的情况进行讨论). 2.推递式求数列最值 (1)单调性法：构造函数，研究的单调性，从而求得其最值； 常用技巧：将前若干个代入便于研究其单调性. (1)不等法：当（或）最大时，有（或），解不等式组确定的取值范围，从而求得（或）中的最大项. 考点一 构造法求数列通项 考点二 赋值法求数列通项 考点三 单调性法求数列最值 考点四 不等法求数列最值 考点一：构造法求数列通项 例1．已知数列满足，其中，则（    ） A．2 B．4 C．9 D．15 【答案】D 【分析】利用构造法证明数列为等比数列，即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以数列是公比为2的等比数列， 所以，所以，则， 故选:D. 例2．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得数列是以为首项，为公差的等差数列.进而求出的通项公式，求出，即可得出结果. 【详解】依题意，所以有. 又，， 所以，数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以，. 所以，，所以. 故选：C. 考点二：赋值法求数列通项 例3．已知数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给递推关系化简可得，再利用等比数列求和公式求解即可. 【详解】，可得时，，时，， 又，两式相减可得，即，上式对也成立， 可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得． 故选：B 例4．已知数列满足，若，则数列的前项和（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数列的递推关系及对数的运算，结合裂项相消法即可求解. 【详解】当时，，解得， 当时，， ， 由，得，即， 取时，，此式也满足， 所以数列的通项公式为， 所以， . 故选：C. 考点三：单调性法求数列最值 例5．已知等差数列为单调递增数列，且前三项和为，前三项积为，数列的前项和为且，则（    ） A．当时，的值最小 B．当时，的值最大 C．当时，的值最小 D．无最值 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义可得，进而可得，再根据数列的单调性可判断各选项. 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得，或， 即或， 又数列为单调递增数列， 则， 所以， 所以数列在和时分别单调递减， 所以，当时，，当时，，且， 所以当时，得值最大为，故B，D选项错误； 当时，得值最小，A选项错误，C选项正确； 故选：C. 考点四：不等法求数列最值 例6．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）已知为等差数列的前项和，满足，，则数列中（    ） A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】通过已知条件先算出等差数列的首项，公差，然后写出的通向公式，最后写出数列的通项公式分析即可. 【详解】在等差数列中，设首项为，公差为， 因为， ， 解得， 所以等差数列的通项公式为： ， 所以， 当时，， 当时，， 所以数列有最大项为第1项，有最小项第7或第8项， 故选：C. 例7．（2023·全国·高三专题练习）已知为等差数列的前项和，，则数列 的最大项为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据等差数列的求和公式和通项公式求出首项与公差，求出等差数列的通项公式，代入中，利用基本不等式性质分析即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为， 所以，所以， 则， 所以， 所以等差数列的通项公式为：， 所以， 当且仅当时取等号，又， 所以当或时取最大值为， 故选：B. 一、单选题 1．已知数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．2023 【答案】A 【分析】根据与的关系，可推得数列是等比数列，进而得出的表达式，即可求出，代入对数式，根据对数的运算，即可得出答案. 【详解】因为，即. 当时，，即； 当时，， 所以， 所以. 又， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，且，则（    ） A． B．2n C． D． 【答案】D 【分析】首先令求出数列首项，再根据得，两式相减得，然后构造等差数列，通过等差数列通项公式求解数列的通项公式，进而求出的通项公式. 【详解】令， 由可得：， 两式作差可得：， 化简整理可得：， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，进而可得：． 故选：D． 3．已知在数列中，，则（    ） A． B．1 C．3