第30讲 等比数列（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第30讲 等比数列 1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. 2.等比中项 (1)如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时. (2)在等比数列中，任取相邻的三项，则是与的等比中项，即. 3.等比数列的通项公式 (1)首项为，公比为q的等比数列{an}的通项公式为. (2)等比数列的图象是指数型函数的图象上的一群孤立的点. 4.等比数列的前n项和公式 首项为，公比为q的等比数列的前n项和. 5.等比数列及其前n项和公式的性质 (1)若是等比数列，且，则;若，则. (2)等比数列中相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即仍是等比数列，公比为. (3)若(项数相同)是等比数列，则，，，，仍是等比数列. (5)若是等比数列的前n项和，则当q≠-1或q=-1，且n为奇数时，仍成等比数列，其公比为. 6.常用结论 (1)为等比数列，若，则成等比数列. (2)当时，是数列{an}成等比数列的充要条件，此时. (3)等比中项法：在数列中，若，且，则是等比数列. 考点一 公式法求数列通项、基本量 考点二 定义法判断等比数列 考点三 等比中项法判断等比数列 考点四 等比数列片段和性质及应用 考点一：公式法求数列通项、基本量 例1．已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据条件，列出关于公比的方程，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，，首项， 由，，成等差数列，则， 则，，得（舍）或. 故选：B 例2．设等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，依题意可得，再根据等比数列前项和公式计算可得. 【详解】设等比数列的公比为，由得，解得， 所以． 故选：C． 考点二：定义法判断等比数列 例3．（2023·广西·统考一模）已知数列的前项和为，且满足，则（    ） A．1458 B．1460 C．2184 D．2186 【答案】A 【分析】根据的关系确定数列为等比数列，利用等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】由，可得， 两式相减可得，即， 当， 所以数列从第二项开始，是以4为首项，3为公比的等比数列， 所以， 故选:A. 例4．若正项数列满足，则（    ） A． B．1 C．6 D．12 【答案】D 【分析】根据已知条件可得数列是公比的等比数列，利用等比数列性质即可求得结果. 【详解】由可得，即 即数列是公比的等比数列， 又，可得； 将代入计算可得. 故选：D 考点三：等比中项法判断等比数列 例5．已知角的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC，举反例排除即可；对于D，利用三角函数的基本关系式即可判断. 【详解】对于A，令，则， 所以，即，故A错误； 对于B，令，则，即，故B错误； 对于C，令，则， 所以，即，故C错误； 对于D，因为角的终边不在坐标轴上，所以，，， 所以，即，则， 所以一定成等比数列，故D正确. 故选：D. 考点四：等比数列片段和性质及应用 例6．（2023·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，，，则为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据等比数列片段和性质可构造方程求得，再由可得最终结果. 【详解】由题意知：，，成等比数列， ，解得：或； ，. 故选：A. 例7．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（    ） A．80 B．30 C．26 D．16 【答案】B 【分析】据等比数列性质可知，，，成等比数列，由等比中项特点可构造方程求得，由等比数列通项公式可求得，进而得到结果. 【详解】是各项均为正数的等比数列的前项和， 也为等比数列， 又， 该等比数列第一项，第二项. 则公比， ， . 故选：B. 一、单选题 1．（2023·全国·模拟预测）在等比数列中，公比，且，则（    ） A．3 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】，. 故选:B. 2．明代朱载堉发现的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同.已知大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟的波长成等比数列，且大吕和林钟的波长分别是m，n，则夹钟和南吕的波长之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比数列的第一项和第四项用通项公式可求出公比，进而求出第二项和第五项可得答案. 【详解】设该等