第29讲 等差数列（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第29讲 等差数列 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是，其中A叫做a，b的等差中项． 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式：当时，是关于n的一次函数． (2)前n项和公式：⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项． 3.等差数列及其前n项和公式的性质 (1)若为等差数列，且，则. (2)若是等差数列，公差为d，则也是等差数列，公差为2d. (3)若是等差数列，公差为d，则是公差为md的等差数列. (4)若是等差数列，则也是等差数列. (5)两个等差数列的前n项和之间的关系为. (6)若是等差数列，分别为的前m项、前2m项、前3m项的和，则也成等差数列. 4.常用结论 (1)数列是等差数列⇔. (2)取倒数法:(p，q，r是常数)变形为， ①若p=r，则是等差数列，且公差为，可用等差数列公式求通项; ②若p≠r，则先转化为bn+1=sbn+t型，再利用构造法构造新数列求解. 考点一 公式法求数列通项、基本量 考点二 定义法判断等差数列 考点三 等差中项法判断等差数列 考点四 函数单调性法求等差数列前n项和的最值 考点一：公式法求数列通项、基本量 例1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．63 B．92 C．117 D．145 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式列方程组求出首项和公差，然后再求即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由已知得， 解得， . 故选：B. 考点二：定义法判断等差数列 例2．数列中，，且，则这个数列的前20项的和为（    ） A．495 B．765 C．450 D．120 【答案】C 【分析】首先判断数列为等差数列，再利用等差数列前和公式即可得到答案. 【详解】因为在数列中，，且 ，即 所以数列 是首项为，公差为3的等差数列， 数列的前项和. 故选：C. 考点三：等差中项法判断等差数列 例3．已知数列满足，其前n项和为，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先利用等差中项判定数列为等差数列，再利用等差数列前n项和公式、等差数列的性质即可求解. 【详解】根据题意，可得数列为等差数列，所以，所以， 所以，所以. 故选：C． 例4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差中项定义可确定为等差数列，结合等差数列通项公式可推导得到，代入即可求得结果. 【详解】由得：，数列为等差数列， 又，，数列的公差， ，，. 故选：C. 考点四：函数单调性法求等差数列前n项和的最值 例5．已知等差数列的通项公式为，则该数列的前项和取得最大值时，（    ） A．7 B．8 C．7或8 D．9 【答案】C 【分析】先求出，再利用等差数列的前项和公式求出，再整理即可得出结果． 【详解】依题意得，则， 所以当n=7或8时，取得最大值． 故选：C． 例6．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知为等差数列的前项和．若，，则当取最大值时，的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由已知结合等差数列的性质和前项和公式，可推得，，从而得解． 【详解】因为等差数列中，，即， 所以， 因为，即， 所以， 由为等差数列，得时，；时，， 所以当时，取得最大值． 故选：D. 一、单选题 1．（2023·全国·校联考二模）已知等差数列满足，，则（    ） A．25 B．35 C．40 D．50 【答案】A 【分析】根据等差数列的通项公式以及性质求得答案即可. 【详解】设等差数列的公差为. 由，得，即①； 由，得，②； 由①②得， 则. 故选：A. 2．（2023·河南安阳·统考二模）已知等差数列中，，，则公差（    ）． A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用等差中项性质得，根据，代入数据计算即可. 【详解】根据等差数列性质可得， 即，， ∴． 故选：A. 3．已知数列的前n项和为，且，则=（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意根据等差中项的性质判断数列为等差数列，利用等差数列前n项和片段和的性质即可求得答案. 【详解】由可得， 故数列为等差数列， 又，故也成等差数列， 即 ， 故选：D 4．设是数列的前n项和，且，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列中，化简表达式，再同时除以即可得到等差数列；求出的通项公式后，再取倒数即可