第28讲 数列的概念与及其简单表示（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第28讲 数列的概念与及其简单表示 1.数列的相关概念 (1)定义:把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项. (2)数列的一般形式是，简记为，是数列的第n项. 2.数列与函数的关系 由于数列中的每一项与它的序号n有下面的对应关系， 所以数列从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项，记为. 3.数列的分类 (1)数列按项数的多少来分：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． (2)按前后项的大小来分：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列． 4.数列的通项公式 一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 5.数列的前n项和及前n项和公式 我们把数列从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列的前n项和，记作，即. 如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 显然，而，于是我们有. 6.常用结论 (1)累加法：变形为， 要点：利用恒等式求解； (2)累乘法：，变形为， 要点：利用恒等式求解. 考点一 和关系法求数列通项 考点二 累加法求数列通项 考点三 累乘法求数列通项 考点一：和关系法求数列通项 例1．已知数列的前项和为，且，则（    ） A．4 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据与的关系进行求解即可. 【详解】. 故选：C 例2．“斐波那契数列” 由十三世纪意大利数学家列昂纳多 •斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为 “兔子数列”.斐波那契数列 满足:，记其前项和为，设(为常数)，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据的关系，把转化为，结合递推关系可得答案. 【详解】由题意可得，. 故选：A. 考点二：累加法求数列通项 例3．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列，即，，，…，且满足，则第六层球的个数为（    ） A．28 B．21 C．15 D．10 【答案】B 【分析】利用递推公式进行累加法求解. 【详解】由题意得，，，，， 以上式子累加可得， 因为，所以， 故选:B. 例4．已知数列，若，，则（    ） A．2500 B．2501 C．2502 D．2503 【答案】B 【分析】利用累加法结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】由，， 可得 ， 故选：B 考点三：累乘法求数列通项 例5．若数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用累乘法求出数列的通项公式，进而求出. 【详解】解：由题意， ， 在数列中，， ∴. 故选：A. 例6．已知数列满足， ，则数列的通项公式为（     ） A．        B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得，再利用累乘法求解. 【详解】解：由，得， 即，则，，，…，， 由累乘法可得，所以， 又，符合上式，所以. 故选：A． 一、单选题 1．（2023·江西·统考模拟预测）已知是数列的前项和，且满足首项为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得当时，，两式相减可得，可求出，即可求出的值. 【详解】由已知可得当时，， 所以，即， 且当时，， 所以也满足上式，所以数列是以首项为1，公比为5的等比数列. 所以， 所以. 故选：D. 2．（2023·四川南充·统考二模）已知数列的前n项和为，若，（），则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列递推式（），可得（），推出，（），结合等比数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】因为（），所以（）， 两式相减得，（）， 由（），得，故可知， 而，所以，（）， 故从第二项开始，为公比为4的等比数列， 故， 故选：A 3．已知数列的前项和为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用 与 的关系求出通项公式，然后根据等比数列求和公式即得. 【详解】由条件时，，两式相减得， ，又， 所以从第二项项开始为公比为2的等比数列，时，， ； 故选：B. 4．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）数列的前项和为，则（