3.4 对数运算及对数函数（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

3.4 对数运算及对数函数（精讲） 一．对数的概念 （1）一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)常用对数与自然对数 常用对数 将以10为底的对数叫做常用对数 把log10N记为lg N 自然对数 将以无理数e＝2．71828…为底的对数叫做自然对数 把logeN记为lnN 二．对数的性质与运算性质 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④logamMn＝logaM． (2)对数的性质：①alogaN＝N；②logaaN＝N(a>0且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad． 三．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 四.反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 1． 对数运算 1.将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． 2.将同底对数的和、差、倍合并． 3.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 二．对数函数的图象 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 三．比较对数值大小的方法 单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底 过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递” 图象法 根据图象观察得出大小关系 四．简单对数不等式 1.解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． 2.对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论． 3.某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 五．盘点易错易混 1．对数的底数含字母时易忽视对底数的讨论； 2．涉及对数的运算及对数函数问题，一定要确保真数大于0，树立定义域优先的思想． 考法一 对数的运算 【例1-1】（2023·广东潮州）求值： (1)； (2) (3)； (4). 【例1-2】已知log23＝a，3b＝7，则log 32的值为________． 【一隅三反】 1．（2023广东湛江）计算： (1)； (2) (3) (4) (5) ． (6)已知 ， ，求的值． 考法二 对数函数的三要素及定点 【例2-1】（1）（2023·山东枣庄·统考模拟预测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． （2）（2023·全国·高三对口高考）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（1）（2023春·云南保山）函数的值域为，则实数的取值范围是 （2） （2023·全国·高三专题练习）设，则值域是_______ （3） （2023·山东）已知函数若存在最小值，则实数a的取值范围是 【例2-3】（2023·山东德州）函数的图象恒过点P，若角的终边经过点P，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（    ）． A． B． C．3 D． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的定义域是（    ） A．或 B． C． D． 3．（2023·湖北）已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·浙江）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 考法三 对数函数的单调性及应用 【例3-1】（2023·安徽）函数的单调递减区间为_________ 【例3-2】（1）（2023春·云南）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（2023·山西）函数在上是单调递增的，则此函数在上是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C