3.3 指数运算及指数函数（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

3.3 指数运算及指数函数（精讲） 一.根式 1.如果xn＝a，那么叫做a的n次方根； 2.式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数； 3.()n＝．当n为奇数时，＝；当n为偶数时，＝|a|＝ 二.分数指数幂的意义 1.分数指数幂 ①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 2.实数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 三．指数函数的概念、图象与性质 1．指数函数的概念 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数． 易错点：形如y＝kax，y＝ax＋kk∈R且k≠0，a>0且a≠1的函数叫做指数型函数，不是指数函数. 2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为，值域为(0，＋∞) 图象过定点(0,1) 当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1 在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数 注意 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0<a<1来研究 1． 指数幂运算原则 （1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 二．指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 三．指数函数的图象与底数大小的比较 1.如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 2.有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除； (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论； (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解； (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．　 3.比较指数式的大小的方法是 (1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小． 4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化． 考法一 指数幂运算 【例1】（2023·贵州）化简求值 （1） （2）． (3)； (4) （5）已知：，求的值． 【一隅三反】 1.（2023·安徽）计算或化简下列各式： (1)； (2)． (3)； (4)已知，求下列各式的值： ①； ②． 2．（2023·云南）解下列方程： (1)； (2)； (3)；(4)． 考法二 指数函数的三要素及定点 【例2-1】（2023·广东）函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是指数函数的是_________． 【例2-2】（2023广东湛江）函数的定义域为________． 【例2-3】（2023·上海奉贤）点、都在同一个指数函数的图像上，则t=________． 【例2-4】（1）（2023春·湖北咸宁）当时，函数的值域是（ ） A． B． C． D． （2）（2023·辽宁丹东）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例2-5】（1）（2023云南）函数恒过定点 （2）（2023·全国·高三专题练习）函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为__________. 【一隅三反】 1．（2023春·山东滨州）函数的定义域为 2．（2023·上海）已知函数是指数函数，求实数a的值 ． 3．（2023·江西）下列函数中，属于指数函数的是_________．（填序号） ①﹔②；③；④（a为常数，，）；⑤；