专题26 两角和与差的正弦、余弦和正切-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题26两角和与差的正弦、余弦和正切 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：和差公式的直接应用 题型二：三角函数公式的逆用与变形应用 题型三：三角函数公式中变“角” 题型四：三角函数公式中变“名” 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝. 3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ). 【常用结论】 1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). 2.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝sin. 【方法技巧】 1.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的． 2.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． 3.常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等． 二、【题型归类】 【题型一】和差公式的直接应用 【典例1】已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　) A. B. C. D. 【典例2】已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　) A．－ B. C. D．－ 【典例3】已知α∈，sin α＝. (1)求sin的值； (2)求cos的值． 【题型二】三角函数公式的逆用与变形应用 【典例1】在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　) A．－ B． C． D．－ 【典例2】已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________． 【典例3】已知sin 2α＝，则cos2＝(　　) A．－ B． C．－ D． 【题型三】三角函数公式中变“角” 【典例1】(多选)若tan＝2，则(　　) A．tan α＝ B．tan α＝ C．tan 2α＝ D．tan 2α＝ 【典例2】已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则cos 2α＝________． 【题型四】三角函数公式中变“名” 【典例1】求值：－sin 10°. 【典例2】求4sin 20°＋tan 20°的值． 三、【培优训练】 【训练一】如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是. (1)求cos(α－β)的值； (2)求2α－β的值. 【训练二】已知x，y∈，sin(x＋y)＝2sin(x－y)，则x－y的最大值为(　　) A. B. C. D. 【训练三】已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为(　　) A.＋ B.－ C.＋ D.－ 【训练四】已知函数f(x)＝sin，x∈R. (1)求f的值； (2)若cos θ＝，θ∈，求f的值． 【训练五】已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈. (1)求sin 2α和tan 2α