2.8 直线与圆锥曲线的位置关系-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评作业与测评word（人教B版2019）

2．8　直线与圆锥曲线的位置关系 第1课时　直线与椭圆的位置关系 知识点一　直线与椭圆的位置关系 1．已知直线x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 答案　C 解析　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝242－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离．故选C. 2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　) A. B．－ C．± D．± 答案　C 解析　把y＝kx＋2代入＋＝1得，(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆相切，所以Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±.故选C. 知识点二　弦长问题 3．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________． 答案　 解析　由消去y并化简得x2＋2x－6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6. ∴弦长|MN|＝·|x1－x2| ＝＝＝. 4．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为________． 答案　 解析　由题意，知椭圆的右焦点为F(1，0)，∴lAB：y＝2x－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得3x2－5x＝0，∴x1＝，x2＝0，∴|AB|＝|x1－x2|＝.又点O到直线AB的距离为＝，∴S△AOB＝××＝. 5．已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程． 解　(1)设动点P的坐标是(x，y)(x≠±)， 由题意得kPA·kPB＝－. ∴·＝－，即＋y2＝1. 故动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1(x≠±)． (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得(1＋2k2)x2＋4kx＝0. Δ＝16k2≥0，∴x1＋x2＝，x1x2＝0. ∴|MN|＝·＝. 整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍去)． ∴k＝±1，经检验符合题意． ∴直线l的方程为y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. 知识点三　中点弦问题 6．已知直线l过点P(3，－2)且与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，则使得点P为弦AB中点的直线的斜率为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减，得＋＝0.又点P(3，－2)为弦AB的中点，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，所以k＝＝.故选C. 7．已知直线l的斜率为－，且交椭圆C：＋＝1(a>b>0)于A，B两点，若点P(2，1)是AB的中点，则椭圆C的离心率为________． 答案　 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减可得＋×＝0.∵斜率为－的直线l交椭圆C：＋＝1(a>b>0)于A，B两点，点P(2，1)是AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，＝－，∴＋×＝0，∴a＝2b，∴c＝b，∴e＝＝. 知识点四　直线与椭圆的综合问题 8．(2023·上海市位育中学高二期末)已知椭圆C：＋＝1，F为椭圆C的右焦点，过点F的直线l交椭圆C于A，B两点． (1)若直线l垂直于x轴，求椭圆C的弦AB的长度； (2)设点P(－3，0)，当∠PAB＝90°时，求点A的坐标； (3)设点M(4，3)，记MA，MB的斜率分别为k1和k2，试探讨k1＋k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1＋k2的取值范围． 解　(1)因为F为椭圆C的右焦点，过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，直线l垂直于x轴， 所以xF＝xA＝xB＝c，代入椭圆的方程得|yA|＝|yB|＝， 所以|AB|＝＝＝3. 若直线l垂直于x轴，椭圆C的弦AB的长度为3. (2)若点P(－3，0)，当∠PAB＝90°时，因为弦AB过右焦点， 则PA⊥FA，即点A在以PF为直径的圆上，则点A的轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4. 又因为点A在椭圆上， 则解得 即点A的坐标为(0，)或(0，－)． (3)当直线l的斜率不存在时，即直线l垂直于x轴，此时A，B， k1＋k2＝＋＝2； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去y得 (3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， x1＋x2＝，x1x2＝， k1＋k2＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝， 将x1＋x2＝，x1x2＝代入上式，得k1＋k2＝2. 综上，k1＋k2是定值2. 9