2.6 双曲线及其方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评作业与测评word（人教B版2019）

2．6　双曲线及其方程 2．6.1　双曲线的标准方程 知识点一　双曲线的定义 1．平面内到两定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹为(　　) A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线 答案　D 解析　根据题意，得||MF1|－|MF2||＝4，且|F1F2|＝6>4，所以点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且焦距为6.故选D. 2．方程－＝6表示的曲线是(　　) A．射线 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．椭圆 答案　C 解析　方程的几何意义是动点P(x，y)到定点(－4，0)，(4，0)的距离之差为6.∵6＜8，∴动点的轨迹是以(4，0)，(－4，0)为焦点，实轴长为6的双曲线的右支．故选C. 3．已知两定点F1(－4，0)，F2(4，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和4时，点P的轨迹分别为(　　) A．双曲线、一条直线 B．双曲线、一条射线 C．双曲线的一支、一条直线 D．双曲线的一支、一条射线 答案　D 解析　当a＝3时，点P满足|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|，依据双曲线的定义，点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝4时，点P满足|PF1|－|PF2|＝8＝|F1F2|，故点P的轨迹是一条射线．综上，点P的轨迹分别是双曲线的一支、一条射线．故选D. 知识点二　双曲线的标准方程 4．若k∈R，则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当k>3时，k－3>0，k＋3>0，∴方程－＝1表示双曲线．反之，若该方程表示双曲线，则(k－3)(k＋3)>0，∴k>3或k<－3.故“k>3”是“方程－＝1表示双曲线”的充分不必要条件． 5．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．y2－＝1 D.－＝1 答案　A 解析　由双曲线的定义知，2a＝－＝5－3＝2，∴a＝1，又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.故选A. 6．若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是(　　) A．±5 B．±3 C．5 D．9 答案　B 解析　由题意得34－n2＝n2＋16，2n2＝18，解得n＝±3.故选B. 7．平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是(　　) A.－＝1(x≤－4) B.－＝1(x≤－3) C.－＝1(x≥4) D.－＝1(x≥3) 答案　D 解析　由已知，知动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，且a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16，∴动点P的轨迹方程为－＝1(x≥3)． 8．已知双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，＝，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝－1 D.－＝－1 答案　D 解析　令x＝0，得y＝10，∴双曲线的焦点坐标分别为(0，－10)，(0，10)，∴c＝10，又＝，∴a＝6，∴b2＝c2－a2＝100－36＝64，故双曲线的方程为－＝1.故选D. 9．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________． 答案　－y2＝1 解析　由题意可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．由·＝0，知PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2.又c＝，∴|PF1|2＋|PF2|2＝20.又由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝±2a.两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2.∴4a2＝20－2×2＝16，a2＝4，从而b2＝c2－a2＝1.故双曲线的标准方程为－y2＝1. 10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中，F1(－c，0)，F2(c，0)为左、右焦点，c＝2a，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝12，求双曲线的标准方程． 解　||PF1|－|PF2||＝2a， 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos60°＝ ＝， ∴|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2. ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin60°＝2b2×＝b2. ∴b2＝12，b2＝12. 由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4. ∴双曲线的标准方程为－＝1. 一、选择题 1．若k∈R，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是(　　) A．－3＜k＜－2 B．k＜－3 C．k＜－3或