2.5 椭圆及其方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评作业与测评word（人教B版2019）

2．5　椭圆及其方程 2．5.1　椭圆的标准方程 知识点一　椭圆的定义及简单应用 1．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为(　　) A．2 B．3 C．5 D．7 答案　D 解析　由椭圆方程知a＝5，根据椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.若|PF1|＝3，则|PF2|＝7.故选D. 2．(2023·四川省绵阳市高二上学期期末)已知椭圆＋＝1的上焦点为F，直线x＝m(0<m<3)与椭圆交于M，N两点，则△MNF周长的取值范围是(　　) A．(0，8) B．(0，16) C．(8，14) D．(8，16) 答案　D 解析　直线x＝m(0<m<3)与椭圆交于M，N两点，椭圆＋＝1的上焦点为F，令下焦点为F1，连接F1N，易得|F1N|＝|FM|，则△MNF的周长为|FN|＋|FM|＋|MN|＝(|FN|＋|F1N|)＋|MN|＝8＋|MN|，又|MN|∈(0，8)，则8＋|MN|∈(8，16)，则△MNF周长的取值范围是(8，16)．故选D. 3．已知椭圆＋＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝(　　) A．3∶5 B．3∶4 C．5∶3 D．4∶3 答案　C 解析　依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易推得y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则有|PF1|2－|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝16，又根据椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|－|PF2|＝2，从而|PF1|＝5，|PF2|＝3，所以|PF1|∶|PF2|＝5∶3. 4．[多选]下列说法中正确的是(　　) A．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段 B．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆 答案　AC 解析　对于A，∵|F1F2|＝8，∴平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，故A正确；对于B，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，故B错误；对于C，点M(5，3)到F1，F2的距离之和为＋＝4＞|F1F2|＝8，其轨迹为椭圆，故C正确；对于D，轨迹为线段F1F2的垂直平分线，故D错误．故选AC. 5．已知动圆C过定点P(3，0)，且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切，则此动圆C圆心的轨迹方程为________． 答案　＋＝1 解析　易知点P在圆内，由x2＋6x＋y2－91＝0得(x＋3)2＋y2＝102，圆心为C1(－3，0)，半径R＝10.如图所示，可知|PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10.因为P(3，0)，C1(－3，0)，且|PC1|＝6<10，所以点C的轨迹是以P，C1为焦点的椭圆，所以c＝3，2a＝10，所以a＝5，从而b＝4，故动圆C圆心的轨迹方程为＋＝1. 知识点二　椭圆的标准方程 6．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．(－9，8) B．(8，25) C．(16，25) D．(8，＋∞) 答案　B 解析　依题意，有解得8＜m＜25.故选B. 7．“方程＋＝1表示椭圆”的一个充分条件是(　　) A．－2＜m＜0 B．m＝0 C．m＜－2 D．m＞0 答案　A 解析　 “方程＋＝1表示椭圆”的充要条件是解得－2＜m＜2，且m≠0，结合选项可得它的一个充分条件为－2＜m＜0.故选A. 8．设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，当a＝2b时，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则椭圆的方程为________． 答案　＋y2＝1 解析　∵a＝2b，b2＋c2＝a2，∴c2＝3b2.又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2.由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b，又|PF1|·|PF2|＝2，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，∴b2＝1，a2＝4.∴椭圆的方程为＋y2＝1. 9．写出分别满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)a＝5，c＝2； (2)经过P1(，1)，P2(－，－)两点； (3)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)． 解　(1)由b2＝a2－c2得b2＝25－4＝21. 所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)解法一：