2.3 圆及其方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评作业与测评word（人教B版2019）

2．3　圆及其方程 2．3.1　圆的标准方程 知识点一　圆的标准方程 1．[多选]关于圆C：(x－1)2＋y2＝2，下列说法正确的是(　　) A．圆心为(－1，0) B．圆心为(1，0) C．半径为2 D．半径为 答案　BD 解析　因为圆C：(x－1)2＋y2＝2，所以圆C的圆心为(1，0)，半径为.故选BD. 2．方程(x－2)＝0所表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．两个点 C．一个点和一个圆 D．一条直线和一个圆 答案　D 解析　(x－2)＝0可化为x－2＝0或x2＋y2＝3，因此该方程表示一条直线和一个圆． 3．若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A. B．－ C．1 D．－1 答案　A 解析　由题可知圆心为(a，0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A. 知识点二　点与圆的位置关系 4．[多选]若点A(a＋1，3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的值可以是(　　) A．0 B．1 C．2 D．5 答案　BC 解析　由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m<5，又易知m>0，∴0<m<5.故选BC. 5．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________． 答案　(－1，1) 解析　∵点(1，1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－1<a<1. 知识点三　求圆的标准方程 6．圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程为________________． 答案　(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 解析　解法一(几何法)：设点C为圆心，∵点C在直线x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2y0＋3，y0)．∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|，∴＝，解得y0＝－2，∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径为r＝.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 解法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题设条件知解得故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 解法三(几何法)：线段AB的中点的坐标为(0，－4)，直线AB的斜率kAB＝＝，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝－2，∴弦AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，即y＝－2x－4.又圆心在直线x－2y－3＝0上，则圆心是直线y＝－2x－4与直线x－2y－3＝0的交点，由得∴圆心坐标为(－1，－2)，∴圆的半径为r＝＝，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 7．已知圆P过点A(1，0)，B(4，0)． (1)若圆P还过点C(6，－2)，求圆P的标准方程； (2)若圆心P的纵坐标为2，求圆P的标准方程． 解　(1)设圆P的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则解得 故圆P的标准方程为＋＝. (2)由圆的对称性，可知圆心P的横坐标为＝， 故圆心P， 故圆P的半径r＝＝， 故圆P的标准方程为＋(y－2)2＝. 知识点四　圆的标准方程的实际应用 8．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，为确保车辆安全，要求车辆只能在道路中心线右侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？ 解　以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)，将x＝2.7代入，得y＝＝＜3.即在离隧道中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道． 知识点五　与圆有关的最值问题 9．(2023·福建泉州侨光中学校考)已知x，y∈R，且(x－3)2＋(y－4)2＝1，则x2＋y2－26的最大值为________． 答案　10 解析　(x－3)2＋(y－4)2＝1表示圆心为C(3，4)，半径r＝1的圆，x2＋y2可看作(x，y)到原点距离的平方，故x2＋y2－26≤(OC＋r)2－26＝(＋1)2－26＝10. 10．圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝5上的点到点P(2，2)的距离的最小值为________，最大值为________；到点Q(－2，2)的距离的最小值为________，最大值为________． 答案　－2　＋2　6－　6＋ 解析　因为圆C的半径r＝，圆心坐标为(4，2)，|PC|＝＝2<r，所以点P在圆内，故圆上各点到点P的距离的最小值为－2，最大值为＋2；又|QC|＝＝6>r，所以点Q在圆外，故圆上各点到点Q的距离的最小值为6－，最大值为6＋. 11．已知点P是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上任意一点，且点A(－1，0)，B(1，0)，试求|PA|2＋|