专题5.3 平面向量的数量积及其应用-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

5.3 平面向量的数量积及其应用 思维导图 知识点总结 1.平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角. 当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b. (2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ. (3)投影向量 设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. 向量a在向量b上的投影向量为(|a|cos__θ). 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夹角：cos θ＝＝. (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 4.平面几何中的向量方法 三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. [常用结论] 1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式： (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量. 典型例题分析 考向一 数量积的计算 例1 (1)(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案　C 解析　由|a－2b|＝3， 可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9， 又|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝1，故选C. (2)(2023·八省八校联考)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，则·＝________. 答案　0 解析　法一　·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ＝0＋||·||cos ＋||||cos ＋0＝－＝0. 法二　建立平面直角坐标系，如图， 则A(0，2)，C，N， 则＝，＝， 则·＝－－＋＋＝0. 感悟提升　平面向量数量积的两种运算方法： (1)基底法，当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题； (2)坐标法，当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解. 考向二 数量积的应用 角度1　夹角与垂直 例2 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A.－6 B.－5 C.5 D.6 答案　C 解析　由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)， 所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t， b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t. 因为〈a，c〉＝〈b，c〉， 所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉， 即＝， 即＝3＋t，解得t＝5，故选C. (2)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________. 答案　 解析　因为＝λ＋，且⊥， 所以有·＝(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－· ＝(λ－1)·－λ2＋2＝0， 整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0， 解得λ＝. 角度2　平面向量的模 例3 (2023·华大新高考联盟质测)已知平面向量a，b，c满足b⊥c，|b|＝|c|＝2，若a·b＝a·c＝8，则|a|＝________. 答案　4 解析　依题意，a·b－a·c＝a·(b－c)＝0， 所以a⊥(b－c)， 而b⊥c，a·b＝a·c＝8，|b|＝|c|＝2， 故〈a，b〉＝〈a，c〉＝45°， 故a·b＝|a||b