专题40 空间向量及其运算-2024年新高考数学一轮考点题型精准复习（讲义+ppt）（新高考专用）

专题40 空间向量及其运算 考点一 空间向量的有关概念 考点二 空间向量的线性运算 考点三 空间共线、共面向量定理 考点四 向量的数量积运算 考点五 空间向量的平行垂直 考点六 空间向量的模长及夹角 一、空间直角坐标系及有关概念 1．空间直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示. 2．空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式 ①设点，为空间两点， 则两点间的距离. ②设点，则点与坐标原点O之间的距离为. （2）中点公式 设点为，的中点，则. 3．空间向量的有关概念 空间向量：在空间中，具有大小和方向的量 单位向量：长度(或模)为1的向量 零向量：长度(或模)为0的向量 相等向量：方向相同且模相等的向量 二、空间向量的有关定理及运算 1.共线向量定理 对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数λ，使得 推论：对空间任意一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使（其中）. 2.共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. 推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使； 或对空间任意一点O，有. 3.空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得.其中，{}叫做空间的一个基底，都叫做基向量. 注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底； （2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；（3）不能作为基向量. 4.空间向量的运算 设， 则，，， ，， ，. 考点一 空间向量的有关概念 例1．（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（     ） A．任意向量与它的相反向量不相等 B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小 C．如果，则 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 【答案】A 【分析】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD. 【详解】对于A，零向量的相反向量是它本身，A错误； 对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确； 对于C，如果，则，C正确； 对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确. 故选：A. 例2．（2023·上海浦东新·统考三模）空间向量的单位向量的坐标是__________． 【答案】 【分析】单位向量只需根据即可求出. 【详解】，，. 故答案为： 例3．（2023春·高三课时练习）在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据转化以及正方体的性质求出各组向量的夹角可得答案. 【详解】对于A，因为，结合正方体的性质可得与的夹角为， 所以与的夹角为，故A正确； 对于B，由与方向相反，结合A可知与的夹角为，故B不正确； 对于C，因为，结合正方体的性质与垂直， 所以与的夹角为，故C不正确； 对于D，因为，而与方向相反， 所以与的夹角为，故D不正确. 故选：A 例4．（2023·全国·高三专题练习）在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得. 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据空间共线向量、共面向量的定义，结合空间向量基本定理逐一判断即可. 【详解】共线，所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量都共面，故②不正确；三个向量中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当不共面时，空间任意一向量总存在实数x，y，z使得，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0， 故选：A 例5．（2023春·高三课时练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足，则； ③在正方体中，必有 ； ④若空间向量 满足，，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，向量相等即模相等和方向相同，故②为假命题； 对于③，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，，故③为真命题； 对于④，根据向量相等的定义，明显成立，故④为真命题. 对于⑤，向量相