2.4.2 圆的一般方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

2．4.2　圆的一般方程 知识点一　圆的一般方程 1．若圆的方程是x2＋y2－2x＋10y＋23＝0，则该圆的圆心坐标和半径分别是(　　) A．(－1，5)， B．(1，－5)， C．(－1，5)，3 D．(1，－5)，3 答案　B 解析　解法一(化为标准方程)：(x－1)2＋(y＋5)2＝3，易得圆心坐标为(1，－5)，半径为.故选B. 解法二(利用一般方程)：圆心为，半径r＝，易得－＝1，－＝－5，r＝.故选B. 2．方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B. C．(－2，0) D. 答案　A 解析　方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0，即(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，若它表示圆，需满足1－a>0，故a<1.故选A. [规律方法]　判断方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆的两种方法 (1)配方法，对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)运用圆的一般方程，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆． 提醒：在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数． 知识点二　求圆的一般方程 3．过A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点的圆的一般方程是(　　) A．x2＋y2＋8x＋6y＝0 B．x2＋y2－8x－6y＝0 C．x2＋y2＋8x－6y＝0 D．x2＋y2－8x＋6y＝0 答案　D 解析　设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点在圆上，则解得 于是所求圆的一般方程是x2＋y2－8x＋6y＝0. 4．已知圆C经过A(0，2)，B(4，6)两点，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，则圆C的一般方程为(　　) A．x2＋y2－6x－6y－16＝0 B．x2＋y2－2x＋2y－8＝0 C．x2＋y2－6x－6y＋8＝0 D．x2＋y2－2x＋2y－56＝0 答案　C 解析　设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心坐标为，因为圆C经过A(0，2)，B(4，6)两点，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，所以 解得所以圆C的一般方程为x2＋y2－6x－6y＋8＝0.故选C. 知识点三　轨迹问题 5．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，那么点P的轨迹所包围的图形的面积为(　　) A．π B．4π C．8π D．9π 答案　B 解析　设点P的坐标为(x，y)，则(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，所以点P的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，故所求面积为π×22＝4π. 6．若△PAB是圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝4的内接三角形，且|PA|＝|PB|，∠APB＝120°，则AB的中点D的轨迹方程为(　　) A．x2＋y2＝1 B．(x－2)2＋(y－2)2＝2 C．(x－2)2＋(y－2)2＝3 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1 答案　D 解析　∵|PA|＝|PB|，∠APB＝120°，∴∠ACB＝120°，∵|CB|＝2，∴|CD|＝1，∴AB的中点D的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，∴AB的中点D的轨迹方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1.故选D. 7．已知等腰三角形ABC的顶角顶点为A(3，20)，一底角顶点为B(3，5)，求另一底角顶点C的轨迹方程． 解　设另一底角顶点为C(x，y)，则由等腰三角形的性质可知|AC|＝|AB|， 即＝， 整理得(x－3)2＋(y－20)2＝225. 当x＝3时，A，B，C三点共线，不符合题意，故舍去． 综上可知，另一底角顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)． 8．设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹． 解　如图，设P(x，y)，N(x0，y0)， 则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为. 由于平行四边形的对角线互相平分， 所以＝，＝，从而 又点N(x＋3，y－4)在圆x2＋y2＝4上， 所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 当点P在直线OM上时， 有x＝－，y＝或x＝－，y＝. 故所求点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点和点. [名师点拨]　求轨迹方程的三种常用方法 (1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明． (2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． (3)代入法：若