2.2直线与圆的位置关系-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

　直线与圆的位置关系 学业标准 素养目标 1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点) 2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点) 3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点) 1．通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理与直观想象的数学素养． 2．借助于直线与圆的位置关系问题的求解，提升数学运算的数学素养． [教材梳理] 导学　直线与圆的位置关系 “大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片． 　图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？ [提示]　(1)相离，(2)相切，(3)相交． 　结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？ [提示]　3种，分别是相交、相切、相离． 　如何判断直线与圆的位置关系？ [提示]　可利用圆心到直线的距离d与半径r的关系． ◎结论形成 直线与圆的三种位置关系及判定 位置关系 相离 相切 相交 图示 公共点个数 __零__个 __一__个 __两__个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝ 比较d与r的大小 d__＞__r d__＝___r d__＜__r 代数法：由 依据方程组解的情况 方程组__无解__ 方程组__只有一组解__ 方程组有两组不同解 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断．(　　) (2)过圆外一点作圆的切线有两条．(　　) (3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离．(　　) (4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．无法判断 解析　圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1. ∵d＝r，∴直线与圆相切．故选B. 答案　B 3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则AB＝(　　) A．1 B． C． D．2 解析　直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则AB＝2. 答案　D 4．(2022·扬州高二统考期中)以点为圆心，且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是(　　) A．2＋2＝4 B．2＋2＝4 C．2＋2＝1 D．2＋2＝1 解析　由题得圆心到直线的距离d＝＝1＝r， 所以圆的方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝1.故选D. 答案　D 题型一　直线与圆位置关系的判断一题多解 　若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围． [自主解答]　法一(代数法) 由方程组消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0. Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000. ①当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90 000>0，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，即a＝50或a＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ<0，即a<－50或a>50. 法二(几何法) 圆x2＋y2＝100的圆心为(0，0)，半径r＝10， 则圆心到直线的距离d＝＝. ①当直线和圆相交时，d<r，即<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即＝10，a＝50或a＝－50； ③当直线和圆相离时，d>r，即>10，a<－50或a>50. [规律方法]　 直线与圆位置关系判断的三种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． [触类旁通] 1．已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，则直线l与圆C的位置关系为________. 解析　由直线方程得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0， 令得故直线l过定点A(3，1). 由AC＝＝＜5，得A点在圆内，因此直线l与圆C相交． 答案　相交 题型二　切线问题一题多解 　过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程． [自主解答]　∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外． 当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意． 设直线l的斜率为k，则方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0. 法一　圆心(2，3)到切线