1.5.2点到直线的距离-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

1．5.2　点到直线的距离 学业标准 素养目标 1．了解点到直线的距离公式的推导方法．(重点) 2．掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点) 3．初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点) 1．通过点到直线距离、两条平行线间距离公式的推导，提升逻辑推理、直观想象的数学素养． 2．通过点到直线距离、两条平行线间距离公式的应用，提升数学运算的数学素养． [教材梳理] 导学　点到直线的距离与两平行线间的距离 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P. 　若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？ [提示]　过点P作直线l′⊥l，垂足为Q，PQ即为所求，直线l的斜率为k，则l′的斜率为－，∴l′的方程为y－y0＝－(x－x0)，联立l，l′的方程组，解出Q点坐标，利用两点间距离公式求出PQ. 　平面直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到x轴、y轴的距离分别是多少？ [提示]　|y0|，|x0|. 　在直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离是不是过点P到直线l的垂线段的长度？ [提示]　是． 　若过P(x0，y0)的直线l′与l：Ax＋By＋C＝0平行，那么点P到l的距离与l′与l的距离相等吗？ [提示]　相等． ◎结论形成 1．点到直线的距离 点到直线的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 图示 公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 2．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离 定义 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 图示 公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当A＝0或B＝0或点P在直线l上时，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式仍然适用．(　　) (2)当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．(　　) (3)在用两平行线间的距离公式时，两方程中x，y的系数对应成比例即可．(　　) (4)点P(x0，y0)到x轴的距离是d＝y0.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．点P(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D．2 解析　d＝＝. 答案　A　 3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(　　) A．3　　　　 B．2　　　　 C．1　　　　D. 解析　d＝＝1. 答案　C　 4．点A(1，0)，B(3，0)到直线l的距离都是1，这样的直线l有________条． 答案　3 题型一　点到直线的距离 　(1)已知点P是x轴上的点，P到直线3x－4y＋6＝0距离为6，则P点坐标为(　　) A．( －6，0)　　　　　 B．(－12，0) C．(－12，0)或(8，0) D．(－6，0)或(6，0) [自主解答]　由点P是x轴上的点，设点P(a，0)，由距离公式可得距离d＝＝＝6，|3a＋6|＝30， 解得a＝8或a＝－12，所以点P坐标为(－12，0)或(8，0). [答案]　C (2)点(0，2)到直线y＝k(x＋2)的距离的最大值为________. [自主解答]　因为直线y＝k(x＋2)显然过点(－2，0)，如图，即A(－2，0)，B(0，2)， 连接AB，若AB⊥l，则点(0，2)到直线y＝k(x＋2)的距离为d＝AB＝2；若AB不垂直l，则点(0，2)到直线y＝k(x＋2)的距离d必小于AB，综上，点(0，2)到直线y＝k(x＋2)距离的最大值dmax＝AB＝2. [答案]　2 [规律方法]　 点到直线距离的求解方法 (1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式． (2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合． [触类旁通] 1．(1)若点(，－1)到直线x＋y－m＝0的距离等于1，则m＝(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．1或－1 解析　∵点(，－1)到直线x＋y－m＝0的距离等于1， ∴＝1，解得m＝±2. 答案　C (2)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为(　　) A．　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析　由坐标原点O到直线l的距离为，可得＝，化简可得m2＋n2＝，因为直线l∶mx＋ny－1＝0，令x＝0，可