1.5.1平面上两点间的距离-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

　平面上的距离 1．5.1　平面上两点间的距离 学业标准 素养目标 1．了解平面上两点间的距离公式的推导方法．(重点) 2．掌握平面上两点间的距离公式，中点坐标公式及其应用．(难点) 3．初步掌握用坐标法研究几何问题．(重点、难点) 1．通过推导平面上两点间的距离公式、中点坐标公式，提升逻辑推理数学素养． 2．通过应用平面上两点间的距离公式、中点坐标公式，提升数学运算、直观想象的数学素养． [教材梳理] 导学　平面上两点间的距离 　如何求A，B两点间的距离？ [提示]　AB＝|xA－xB|. 　在平面直角坐标系中能否用数轴上两点间距离求出任意两点间距离？ [提示]　可以，构造直角三角形利用勾股定理求解． ◎结论形成 1．两点间的距离 (1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). (2)结论：P1P2＝. 2．中点坐标公式 一般地，对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)， 则 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.(　　) (2)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．(　　) (3)点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，当直线平行于坐标轴时P1P2＝|x1－x2|.(　　) (4)已知M(2，1)，N(－1，5)，则MN＝5.(　　) 答案　(1) ×　(2) ×　(3)×　(4)√ 2．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则PQ(　　) A．4　 　 B．4　　 C．2　 　 D．2 解析　∵P(1，1)，Q(5，5)，∴PQ＝＝4. 答案　B 3．若A(－2，－1)，B(a，3)且AB＝5，则a＝__________． 答案　1或－5 4．已知点P在直线x＋y＝0上，A(6，0)且AP＝3，则点P的个数是________． 答案　1 题型一　两点间的距离 　(1)已知点P(a，2)，Q(－2，－3)，M(1，1)，且PQ＝PM，则a的值是(　　) A．－2　 B．2　 C．－　 D． [自主解答]　因为点P(a，2)，Q(－2，－3)，M(1，1)，且PQ＝PM， 所以＝ ，解得a＝－. [答案]　C (2)已知A(－c，0)，B(c，0)，直线x＋y＝1上存在唯一点P，使得PA＝PB，则c的值为(　　) A．－1　　　　　　　 B．－1或 C．1或－ D．－ [自主解答]　设P，由PA＝PB得， ＝×， 整理得3x－2x0＋2c2＋1＝0， 因为直线x＋y＝1上存在唯一点P，所以整理后的方程只有一个解， 即Δ＝42－12＝0，解得c＝－1或c＝. [答案]　B [规律方法]　计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则P1P2＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． [触类旁通] 1．(1)以点A，B，C为顶点的三角形是(　　) A．等边三角形　　　　 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 解析　由已知可得AB＝＝2，AC＝＝2， BC＝＝4， 所以AB2＝AC2＋BC2. 故△ABC为直角三角形． 答案　D (2)设A(3，4)，在x轴上有一点P(x，0)，使得PA＝5，则x＝(　　) A．0　　 B．6　　 C．0或6　　 D．0或－6 解析　由PA＝5，得＝5，即(3－x)2＋(4－0)2＝25， 化简为x2－6x＝0，解得x＝6或x＝0. 答案　C 题型二　两点间的距离公式及应用一题多变 　已知点A(2，3)，B(4，1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上． (1)求AB边上的高CE所在直线的方程． (2)求△ABC的面积． [自主解答]　(1)由题意可知，E为AB的中点，E(3，2)， kAB＝＝－1，且kCE＝－＝1， 所以CE所在直线方程为y－2＝x－3， 即x－y－1＝0. (2)由得 所以C的坐标(4，3)， 又A(2，3)，B(4，1)， 所以EC＝＝， AB＝＝2， 所以S△ABC＝AB·EC＝2. [母题变式] 1．(变条件、变结论)(一题多解)把本例2三角形所满足的条件改为“A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)”，试判断此三角形的形状，并求其面积． 解析　法一　因为AB＝＝2， AC＝＝2， 又BC＝＝2， 所以AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC， 所以△ABC是等腰直角三角形． S△ABC＝AC·AB＝×2×2＝26. 法二　因为kAC＝ ＝， kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1， 所以AC⊥AB. 又AC＝ ＝2， AB＝＝2， 所以AC＝A