1.4两条直线的交点-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

　两条直线的交点 学业标准 素养目标 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点) 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点) 1．通过求解两直线交点坐标，提升数学运算的数学素养． 2．借助于利用两条直线交点解决相关问题，提升直观想象的数学素养． [教材梳理] 导学　两条直线的交点 已知二元一次方程组 　二元一次方程组的解法有哪些？ [提示]　代入消元法、加减消元法． 　在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？ [提示]　两直线的公共部分，即交点． 　若给出两直线y＝x＋1与y＝3x－2，如何求其交点坐标？ [提示]　联立解方程组求方程组的解即可得． ◎结论形成 直线的交点与直线的方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 __无解__ 直线l1，l2的公共点个数 一个 __无数个__ 零个 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两条直线相交．(　　) (2)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交．(　　) (3)直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示经过直线A1x＋B1y＋C1＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的所有直线．(　　) (4)直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0有交点的等价条件是A1B2－A2B1≠0.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是(　　) A．(－9，－10)　　　　　　　 B．(－9，10) C．(9，10) D．(9，－10) 解析　解方程组得故两直线的交点坐标为(－9，10). 答案　B 3．(多选)下列各组直线中，两直线相交的是(　　) A．y＝x＋2和y＝1 B．x－y＋1＝0和y＝x＋5 C．x＋my－1＝0(m≠2)和x＋2y－1＝0 D．2x＋3y＋1＝0和4x＋6y－1＝0 解析　A中两直线显然相交；B中两直线平行；C中直线x＋my－1＝0过点(1，0)，直线x＋2y－1＝0过点(1，0)，故两直线相交；D中两直线平行． 答案　AC 4．方程组解的个数是________． 答案　0 题型一　两直线的交点问题一题多解 　 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. [自主解答]　法一　 (1)解方程组得 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1). (2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 法二　(1)∵kl1＝2，kl2＝－，kl1≠kl2，∴l1与l2相交， 由得 故l1与l2的交点为(3，－1). (2)由＝＝，知l1与l2重合． (3)l2方程为2x＋y－3＝0，由＝≠，知两直线l1与l2平行． [规律方法]　 两条直线相交的判定方法 方法一　联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二　两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三　两直线的斜率一个存在，另一个不存在． [触类旁通] 1．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析　联立两直线方程得： 得 所以两直线的交点坐标为， 因为两直线的交点在第一象限， 所以 解得即k＞，设直线l的倾斜角为θ， 则tan θ＞，所以θ∈，故选D. 答案　D 题型二　由直线交点的个数求参数 　(2022·连云港高二统考期中)已知三条直线l1：2x＋y－1＝0，l2：3x－2y＋9＝0和l3：ax－(a＋1)y－7a－5＝0. (1)若l1⊥l3，求实数a的值；(2)若三条直线相交于一点，求实数a的值． [自主解答]　(1)因为l1：2x＋y－1＝0，l3：ax－(a＋1)y－7a－5＝0且l1⊥l3， 所以2×a＋1×＝0，解得a＝1. (2)由解得即l1与l2的交点为， 因为三条直线相交于一点，所以点在l3上， 所以－1×a－3－7a－5＝0，解得a＝－. [素养聚焦] 通过对已知交点个数条件下求参问题的学习，提升逻辑推理、数学运算数学素养． [规律方法]　 由直线与直线的交点的个数求参数 (1)多线共点时，先求两直线的交点坐标，再代入第三个方程，从而得解． (2)当直线交点的个数大于1时，考虑直线平行、不共点情形，从而求出参数的值，而位置点不定时需进一步讨论，然后将所得值进行检验，以