1.2.2直线的两点式方程-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

1．2.2　直线的两点式方程 学业标准 素养目标 1．掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围．(重点) 2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．(重点) 3．会用中点坐标公式求两点的中点坐标． 1．通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养． 2．通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养． [教材梳理] 导学　直线的两点式方程 某区商业中心O有通往东，西，南，北的四条大街，某公园位于东大街北侧，北大街东侧的P处，如图所示．公园到东大街，北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街，北大街交汇于A，B两处，并使区商业中心O到A，B两处的距离之和最短． 　在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定？ [提示]　可以确定． 　根据上图知建立平面坐标系后，A，B两点的坐标值相当于在x轴，y轴上的什么量？ [提示]　在x轴，y轴上的截距． 　那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？ [提示]　可以． ◎结论形成 直线的两点式和截距式方程 名称 两点式方程 截距式方程 已知条件 直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 直线l经在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0 示意图 直线 方程 __＝__ __＋＝1__ 适用范围 斜率存在且不为零 斜率存在且不为零，不过原点 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的两点式方程也可以用＝(x1≠x2，y1≠y2)表示．(　　) (2)任何直线都可以用方程＋＝1表示．(　　) (3)能用两点式写出的直线方程，也可以用点斜式方程写出．(　　) (4)直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　) A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0 解析　由直线的两点式方程，得＝，化简得x－y－1＝0. 答案　D 3．直线y＝3x＋2在x轴上的截距是________． 解析　令y＝0得x＝－，即在x轴上的截距为－. 答案　－ 4．过点(1，3)且在x轴上的截距为2的直线方程是____________． 解析　由题意知直线过点(2，0)，又直线过点(1，3)， 由两点式可得＝，整理得3x＋y－6＝0. 答案　3x＋y－6＝0 题型一　直线的两点式方程 　(1)已知直线经过点A(1，1)，B，则该直线的方程是(　　) A．x＋y－2＝0　　　　 B．2x－y－1＝0 C．x＋y－5＝0 D．2x－y＋1＝0 [自主解答]　设P(x，y)是直线上的任意一点，由直线方程的两点式得＝，整理得2x－y－1＝0，故选B. [答案]　B (2)若直线l过点(－1，－1)和(2，5)，且点(1 009，b)在直线l上，则b的值为(　　) A．2 019 B．2 018 C．2 017 D．2 016 [自主解答]　由直线的两点式方程得直线l的方程为＝， 即y＝2x＋1，令x＝1 009，则有b＝2×1 009＋1，即b＝2 019. [答案]　A [规律方法]　 由两点式求直线方程的步骤 (1)设出直线所经过点的坐标． (2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． (3)由直线的两点式方程写出直线的方程． 提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程． [触类旁通] 1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2，7)，则直线l的方程为________． 解析　(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2. 答案　x＝2 (2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________． 解析　由直线方程的两点式得＝，即＝. ∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2， ∵点P(3，m)在直线AB上，则m＋1＝－3＋2，得m＝－2. 答案　－2 题型二　直线的截距式方程 　(2022·徐州高二校考)已知△ABC的顶点A，B，C. (1)求AB边上的中线所在直线的方程； (2)求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程． [自主解答]　(1)线段AB的中点为D(1，－1)， 则中线CD所在直线方程为＝，即x－2y－3＝0. (2)设两坐标轴上的截距为a，b， 若a＝b＝0，则直线经过原点，斜率k＝＝－2， 直线方程为y＝－2x，即2x＋y