1.1直线的斜率与倾斜角-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

　直线的斜率与倾斜角 学业标准 素养目标 1．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点) 2．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点) 1．通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养． 2．通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养． [教材梳理] 导学1　直线的斜率 日常生活中，常用坡度表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞. 　对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？ [提示]　可以． 　上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？ [提示]　可以． ◎结论形成 对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， (1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称为直线l的斜率，k＝. (2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在． 导学2　直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，直线l经过点P. 　直线l的位置能够确定吗？ [提示]　不能． 　过点P可以作与l相交的直线多少条？ [提示]　无数条． 　上述问题中的所有直线有什么区别？ [提示]　倾斜程度不同． ◎结论形成 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按__逆时针__方向旋转到和直线重合时所转过的__最小正角__称为这条直线的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为__0°__ 记法 α 图示 范围 0°≤α<180° 作用 (1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的__倾斜程度__；(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的__倾斜角__，二者缺一不可 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应．(　　) (2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应．(　　) (3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等．(　　) (4)直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．(　　) 答案　 (1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是(　　) A．0°　　 B．45°　　 C．60°　　 D．90° 解析　∵k＝＝0，∴直线的倾斜角是0°. 答案　A 3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　) A．　　 B．　　　 C．1　 　 D． 解析　由题意可知，k＝tan 30°＝. 答案　A 4．(2022·徐州高二统考期中)若三点A，B，C共线，则m＝________． 解析　由A，B，C三点共线，可得kAB＝kAC，∴＝，解得m＝3，故答案为3. 答案　3 题型一　直线的倾斜角 　(1)给出下列命题：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④按照倾斜角的概念，直线的倾斜角的集合{α|0°＜α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．其中正确的命题有(　　) A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个 [自主解答]　直线的倾斜角的范围是[0°，180°)，所以②和④错误；平行于x轴的直线的倾斜角都为0°，所以③错误．故选A. [答案]　A (2)如图所示，直线l1的倾斜角是150 °，l2⊥l1，垂足为B，l1，l2与x轴分别交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为____________． [自主解答]　因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°. [答案]　30° [规律方法] 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [触类旁通] 1．(1)已知下列命题：①若θ为直线l的倾斜角，则0°＜θ＜180°； ②若k是直线的斜率，则k∈R； ③任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中正确的命题有(　　 ) A．0个　　　　　　 B．1个 C．2个 D．3个 解析　直线的倾斜角范围是[0°，180°)，①错；正切函数的值域是R，②对；倾斜角为90°的直线没有斜率，③对；每条直线都唯一对应一个倾斜角，④错．故选C. 答案　C (2)一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为(