章末整合提升4-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

一、 等差数列、等比数列的判定 1．判定等差数列的方法 (1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法． 2．判定等比数列的方法 (1)定义法；(2)等比中项法；(3)通项公式法． 注：以上的第三种方法只能作为判定方法，而不能作为证明方法． 　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*. (1)证明：{an－1}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． [自主解答]　(1)证明　∵Sn＝n－5an－85， ∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85， 两式相减，得an＋1＝1＋5an－5an＋1，整理，得an＋1＝ an＋， ∴an＋1－1＝(an－1)，又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14， ∴a1－1＝－14－1＝－15，∴数列{an－1}是以－15为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)可知an－1＝－15×， ∴an＝1－15×. 二、求数列的通项公式 数列的通项公式是数列的重要内容之一，它把数列各项的性质集于一身．常用的求通项公式的方法有观察法、公式法、累加法、累乘法、前n项和作差法、辅助数列法． 　(1)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列的通项公式an＝(　　) A．2n　　　　　　　　 B．2n＋1 C． D． [自主解答]　法一　由数列{an}为递增的等比数列，可知公比q＞0，而a＝a10＞0， 所以q＞1，an＞0.由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2an＋2anq2＝5anq，则2q2－5q＋2＝0， 解得q＝2或q＝(舍去).由a＝a10，得(a1q4)2＝a1q9， 解得a1＝2.因此an＝2n. 法二　由等比数列{an}为递增数列知，公比q＞0，而a＝a10＞0，所以an＞0，q＞1. 由条件得2＝5，即2＝5，解得q＝2.又由a＝a10，得(a1q4)2＝a1q9， 即a1＝q＝2，故an＝2n. [答案]　A (2)已知数列{an}中，an＋1＝3an＋4，且a1＝1，求通项公式． [自主解答]　法一　由题意得an＝3an－1＋4＝3(3an－2＋4)＋4＝32an－2＋3×4＋4＝33an－3＋32×4＋3×4＋4＝…＝3n－1a1＋3n－2×4＋3n－3×4＋…＋3×4＋4＝3n－1＋＝3n－1＋2(3n－1－1)＝3n－2. 法二　∵an＋1＝3an＋4，∴an＋1＋2＝3(an＋2). 令bn＝an＋2，∵b1＝a1＋2＝3， ∴数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，则bn＝3n，∴an＝3n－2. 法三　∵an＋1＝3an＋4，① ∴an＝3an－1＋4(n≥2).② ①－②，得an＋1－an＝3(an－an－1)(n≥2). ∵a2－a1＝3＋4－1＝6， ∴数列{an＋1－an}是首项为6，公比为3的等比数列， 即an＋1－an＝6×3n－1＝2×3n，利用累加法得an＝3n－2. 三、等差数列、等比数列的综合问题 等差、等比数列是两类基本的数列，两数列相结合的问题经常考查，特别是通项公式、前n项和公式以及等差中项、等比中项是命题的热点． 　已知等差数列{an}的公差d为2，且a1，a3，a4成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)设{an}的前n项和为Sn，求S20的值． [自主解答]　(1)∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1a4， ∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)， ∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8. ∴{an}的通项公式为an＝2n－10. (2)∵S20＝＝10(a1＋a1＋19d)＝10(－16＋19×2)＝220， ∴S20的值为220. 四、 数列的求和 1．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 2．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解． 　已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3. (1)求an； (2)求数列{nan}的前n项和． [自主解答]　 (1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k(cn－cn－1)， 则a6＝k(c6－c5)，a3＝k(c3－c2)，＝＝c3＝8，∴c＝2. ∵a2＝4，即k(c2－c1)＝4，解得k＝2，∴an＝2n. 当n＝1时，a1＝S1＝2. 综上所述，an＝2n(n∈N*). (2)nan＝n·2n，设数列{nan}的前n项和为Tn， 则Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， 2Tn＝1·22＋2·23＋3·24