章末整合提升2-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

一、 求圆的方程 1．求圆的方程的方法 求圆的方程主要是联立圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题． 2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤 (1)选择圆的方程的某一形式． (2)由题意得a, b, r(或D, E, F)的方程(组). (3)解出a, b, r(或D, E, F). (4)代入圆的方程． 　一个圆C和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)，求圆C的方程． [自主解答]　由x2＋y2－2x＝0得(x－1)2＋y2＝1，故其圆心为(1，0)，半径为1. ∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切， 故两个圆心之间的距离等于半径的和， 又∵圆C与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)， 可得圆心C与点M(3，－)的连线与直线x＋y＝0垂直，其斜率为. 设圆C的圆心为(a，b)，半径为r， 则 解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6， ∴圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 二、直线与圆的位置关系 圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等．充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．另外，对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路． 　已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0. (1)m∈R时，证明l与C总相交； (2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长． [自主解答]　 (1)证明　直线l的方程可化为y＋3＝2m(x－4)， 由点斜式可知，直线l过点P(4, －3). 由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交． (2)如图，当圆心C(3, －6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短． 此时PC⊥l，所以直线l的斜率为－，所以m＝－. 在△APC中，PC＝，AC＝r＝5， 所以AP2＝AC2－PC2＝25－10＝15， 所以AP＝，所以AB＝2，即最短弦长为2. 三、 圆与圆的位置关系 判断两圆位置关系的两种方法比较 　(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系． (2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系． 　在平面直角坐标系xOy中，过点P(0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2＋y2＝4交于点A，B，与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于点C，D.若AB＝，求CD的长． [自主解答]　因为AB＝，圆O半径为2， 所以点O到直线AB的距离为，显然AB，CD都不平行于坐标轴． 可设直线AB：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0. 则点O到直线AB的距离d＝＝，解得k＝±. 因为AB⊥CD，所以kCD＝－，所以直线CD：y＝－x＋1，即x＋ky－k＝0. 点M(2，1)到直线CD的距离d′＝＝， 所以CD＝2＝2＝. 四、常用逻辑用语 我们知道两圆相交(或相切)有两个(或一个)交点，经过这些交点可作无穷多个圆，这无穷多个圆可组成一个圆系．常见的圆系有以下几种： (1)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0. (2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0. (3)过两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1). 　 求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点的圆的方程． [自主解答]　设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0， 即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y－8λ－24＝0(λ≠－1)， ∴这个圆的圆心为. 又∵这个圆的圆心在直线x＋y＝0上， ∴－－＝0.解得λ＝－2. ∴所求圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0. [典例]　(12分)在平面直角坐标系xOy中有两点A(1，0)，B(0，1)及圆C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0. (1)若直线l1过点B(0，1)且与圆C相切，求直线l1的方程． (2)已知直线l2平行于直线AB，且交圆C于M，N