教考衔接3——离心率的求法-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

一、真题展示 1．(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 2．(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，PF1＝3PF2，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 3．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 二、真题溯源 (教科书P86) 12．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P. (1)若∠F1PF2为直角，求椭圆的离心率； (2)若∠F1PF2为钝角，求椭圆离心率的取值范围． 13．已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成30°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程和离心率． 三、解法探究 圆锥曲线离心率问题 1．求离心率的值：求离心率的值关键是找到a与c的等式关系，解出a与c的关系，进而求出离心率．建立等式关系的常用思路：①利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形)，那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距，从而求解；②利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a，b，c进行表示，再利用条件列出等式求解． 2．求离心率的范围：求离心率的范围关键是找到a与c的不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围．①题目中点的横坐标或者纵坐标有取值范围，如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑将该点坐标用a，b，c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口．②若题目中有一个核心变量，则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可；③通过一些不等关系得到关于a，b，c的不等式，进而解出离心率． 3．由离心率求参数的范围：由离心率求参数的范围关键是找到离心率与参数之间的关系，然后根据离心率的范围求出参数的范围． 类型1　定义法 　(1)设双曲线－＝1(a＞0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M为直线y＝2b上的一点，△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． [自主解答]　(1)因为双曲线－＝1(a＞0)的两焦点之间的距离为10，所以2c＝10，c＝5，所以a2＝c2－9＝16，所以a＝4.所以离心率e＝. (2)因为△F1MF2是等边三角形，故M(0，2b)，MF1＝F1F2，即＝2c，即4b2＋c2＝4c2，4a2＝7c2，e2＝＝，故e＝. [答案]　(1)C　(2)C 类型2　几何法 　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥x轴，直线PF1与C的另一个交点为Q，若PF1＝4F1Q，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． [自主解答]　由题意，可将点P的坐标代入椭圆C的方程得＋＝1， 解得PF2＝. 如图所示，过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E， 设Q(x0，y0)， 根据题意及图可知， Rt△PF2F1∽Rt△QEF1， ∵＝4，∴＝＝4， ∴EF1＝＝＝， ∴x0＝－c－＝－. 又y0＝－QE＝－＝－. ∴点Q的坐标为. 将点Q的坐标代入椭圆方程，得＋＝1. 结合b2＝a2－c2，解得e＝＝. [答案]　D 类型3　寻求齐次方程(不等式)求离心率 　(1)过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是双曲线的另一个焦点，若∠PF1Q＝，则双曲线的离心率e等于(　　) A．－1 B． C．＋1 D．＋2 (2)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，且满足c2－b2＋ac＜0，则该椭圆的离心率e的取值范围是________． [自主解答]　(1)由题意可知PF2＝，F1F2＝2c.因为∠PF1Q＝，所以PF2＝F1F2，所以＝2c，即c2－a2＝2ac. 等式两边同除以a2，得e2－1＝2e，即e2－2e－1＝0. 解得e＝＋1或e＝1－(舍去). (2)∵c2－b2＋ac＜0，∴c2－(a2－c2)＋ac＜0，即2c2－a2＋ac＜0，∴－1＋＜0，即2e2＋e－1＜0，解得－1＜e＜.又0＜e＜1，∴0＜e＜.∴椭圆的离心率e的取值范围是. [答案]　(1)C　(2) [触类旁通] 1．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的