教考衔接2——求解与圆有关的最值(范围)问题-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

一、真题展示 1．(2021·北京卷)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C的弦长的最小值为2，则m＝(　　) A．±2 B．± C．± D．±3 2．(2020·全国Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0 3．(2022·新高考Ⅰ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 二、真题溯源 (教科书P71) 6．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为________． 15．设a为实数，若直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0，1)，求a的取值范围及直线l的方程． 三、解法探究 纵观近几年高考及教科书练习不难看出，对于圆的考查，重点放在与圆相关的最值问题上，主要考查与圆相关的参数范围问题和长度或面积的最值问题．除以选择题、填空题的形式考查外，也有与圆锥曲线相结合考查的趋势．要求学生有较强的数形结合能力、转化与化归意识和准确的计算能力．从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊的题目．分析原因，除了这类题目的入手确定不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．下面就高中阶段出现的这类问题加以总结和探讨． 类型1　定点到圆上动点的距离问题 　(1)已知x，y∈R，且圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求(x＋2)2＋(y－2)2的最大值与最小值； (2)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝PA2＋PB2，求d的最大值及最小值． [自主解答]　(1)因为(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示以C(1，－2)为圆心，半径r＝2的圆，所以表示圆上的动点M(x，y)与定点A(－2，2)的距离(如图). 连接AC，直线AC与圆C交于A1，A2. 则当M位于A2位置时，取得最大值，为AC＋r＝＋2＝7. 当M位于A1位置时，取得最小值，为AC－r＝－2＝3. 即(x＋2)2＋(y－2)2的最大值为49，最小值为9. (2)设P(x，y)，则d＝PA2＋PB2＝2(x2＋y2)＋2. 因为CO2＝32＋42＝25，所以(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2. 即16≤x2＋y2≤36. 所以d的最小值为2×16＋2＝34， 最大值为2×36＋2＝74. 类型2　可转化为点到直线的距离问题 　(1)已知x，y满足x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值为________． [自主解答]　(x－1)2＋(y－1)2表示点P(x，y)到点Q(1，1)的距离的平方．由已知可得点P在直线l：x＋2y－5＝0上，所以PQ的最小值为点Q到直线l的距离，即d＝＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值为d2＝. [答案]　 (2)已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点，求点P到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值． [自主解答]　圆心C(－2，0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝，大于半径r＝1， 故点P到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为d＋r＝，最小值为d－r＝. 类型3　与面积有关的最值问题 　已知点P在圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝1上，直线l：3x＋4y＝12与两坐标轴的交点分别为M，N，则△PMN面积的最大值是(　　) A． B．8 C． D．9 [自主解答]　 如图，当点P到直线l：3x＋4y＝12的距离最大时，△PMN的面积最大． 圆C的圆心(2，－1)到直线l：3x＋4y＝12的距离d＝＝2， 则圆C上的点P到直线l的距离的最大值为d＋r＝2＋1＝3， 又直线l：3x＋4y＝12与两坐标轴交点分别为M(4，0)，N(0，3)，所以MN＝5， 所以△PMN面积的最大值为S＝×5×3＝，故选A. [答案]　A 类型4　与斜率、截距有关的最值问题 　已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点． (1)求的最大值与最小值． (2)求x－2y的最大值与最小值． [自主解答]　(1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率，令＝k，如图所示， 则其最大、最小值分别是过点Q(1，2)的圆C的两条切线的斜率． 对上式整理得kx－y－k＋2＝0， ∴＝1， ∴k＝. 故的最大值是，最小值是. (2